Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

N�o acho que seja t�o dif�cil ver que a s�ries com n�meros arbitrariamente
grandes no denominador convergem para irracionais.

A id�ia que segue se aplica a qualquer s�rie convergente com a seguinte
propriedade: Se no denominador teremos termos arbitrariamente grandes, com
fatores primos arbitrariamente grandes ent�o a fra��o resultante da soma at� N_0, n�o
conseguir� se "estabilizar" pois existir� um N>N_0 com um primo no denominador
maior do que o maior primo no denominador existente para N_0.
    Sendo matem�ticamente mais preciso, seja S_0 o maior n�mero
primo no denominador para soma at� N_0.  Ent�o haver� N>N_0 para o qual
existir� S>S_0.

     O caso em quest�o � um pouco mais complexo porque k � um inteiro, o que significa que
o n�mero de fatores primos � constante.

 Soma (n= 1, N ) 1/[k^(p(n)]

   Agora vamos observar o seguinte a respeito de p(n), que parece ser apenas um "complicador" para o
problema.  Temos a hip�tese do termo l�der ser positivo.   Isso � s� para garantir a converg�ncia.  Note
tamb�m que o grau � maior que 2.  Como n > 1 e p(n) � avaliado para n�meros inteiros, � claro que
a s�rie vai convergir porque 1/[k^p(n)] > 1/[k^2] para k>2  (desprezando o primeiro termo).

   Para ver que o n�mero � irracional consideramos o �ltimo termo da soma.   Ele ser� da forma:

 1/  (p_1)^a (p_2)^b ... (p_t)^z     onde p_1,p_2,p_3 ... s�o primos da decomposi��o de k.  Supomos
ent�o que exista uma fra��o R/S  que seja a soma da s�rie.  Note que as pot�ncias a, b,..., z  aumentam
conforme aumentamos n.     S, o denominador ent�o dever� ter a maior de todas as pot�ncias de cada
um dos fatores.   Ora isso n�o � poss�vel pois para n+1 obteremos valores maiores para alguma das
pot�ncias a,b,...,z.   Donde conclu�mos que o resultado deve ser irracional.

Essa � uma prova *qualitativa*  precisa de mais rigor, eu reconhe�o.

Ronaldo Luiz Alonso



Artur Costa Steiner wrote:

> Acho este problema bem interessante. Acho que j� circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ningu�m a apresentar.
>
> Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polin�mio de grau >= 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo l�der � positivo. Mostre que a s�rie Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um n�mero irracional.
>
> Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional.
>
> Abracos
> Artur
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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