[obm-l] Re: Iberoamericana 2004

[JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx]

(Iberoamericana-2004). Considera-se no plano uma
circunfer�ncia de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
ponto da circunfer�ncia e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
lugar geom�trico dos centros das  circunfer�ncias que passam por A, M e N
quando M varia.

Tentativa de Solu��o

      C (centro da circunfer�ncia AMN) � o encontro das mediatrizes de MN e
NA.
Quando MN � perpendicular a AO, C estar� no m�dio de AO. Seja P esse m�dio
fixo.
Se provarmos uma das condi��es a seguir, ent�o o problema estar� acabado.
As condi��es:
1)    Os �ngulos COP e CPA s�o iguais;
2)    Os �ngulos OCP e PCA s�o iguais;
Seja s a perpendicular a AO por O. COP � igual a MOT. T � uma das
interse��es de s com a circunfer�ncia de centro O e raio r.
Resta provar que CAO � igual a MOT.
Naturalmente, o LG procurado tem simetria em rela��o a reta AO. Logo, o LG
cont�m C�, sim�trico de C em rela��o a AO.
Ora, C�AO � igual a MOT, pois AC� � perpendicular a MN; e AO, a OT.
Portanto, CAO � igual a MOT.
A reta CC� � o LG procurado.

Fraternalmente, Jo�o.



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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