Olá Jan, vou mostrar que a segunda relação é de equivalência. Vou usar a notação a|b (a divide b), para dizer que existe um k em Z tal que b = k a.
Com isto a segunda relação fica:
2) x~y <=> n|(x-y).
Para uma relação ser de equivalência ela precisa satisfazer 3 propriedades:
a) x~x
b) Se x~y então y~x
c) Se x~y e y~z então x~z.
vamos verificar:
a)
x~x, pois n| (x-x), uma vez que n sempre divide 0.
b)
Se x~y, isto quer dizer que n|(x-y) logo n|-(x-y), ou seja, n|(y-x), logo y~x
c)
Se x~y e y~z, ou seja, n|(x-y) e n|(y-z), logo n|((x-y)+(y-z))=(x-z) e portanto x~z.
Sabemos que dado uma relação de equivalência em um conjunto ele particiona o conjunto em classes, onde os elementos que estão em uma classe são os iguais a ele com a relação de equivalência.
Observe que x~y <=> n|(x-y) <=> x e y deixam a mesmo resto quando dividido por n (prove!). Agora, pelo algoritmo da divisão, todo número a pode ser escrito por a = kn+r, com k, n em Z e 0<=r<n. Ou seja, os números inteiros podem ser agrupados em n classes dependendo do resto da divisão por n.
Vamos chamar estas classes por 0',1',2',...,(n-1)'. Portanto os elementos que estão em 2' são da forma 2+k n, com k variando em Z.
T+
Jones
On 7/3/07, Jan Sousa <jan.sousa@gmail.com> wrote:
Pessoal, alguem por favor me auxilia nessa:
Seja A=Z e a relação (~) definida como:
1) x~y <=> x-y = 4k, onde k pertence a Z.
2) x~y <=> x-y = n.k, onde k pertence a Z
Pede-se:
a) Mostrar em cada uma a relação de equivalência,
b) Descrever para cada um dos casos as classes de equivalência.
grato,