Acho que este problema d� pra resolver aparentemente da mesma forma que aquele problema proposto pelo Rafael alguns dias atr�s e que voc� havia mostrado uma solu��o transformando o problema em uma equa��o.
1) De quantos modos podemos escolher tres numeros, n�o necessariamente distintos, no conjunto {1,2,...,150} de modo que a soma dos numeros escolhidos seja divisivel por 3? E se os numeros fossem distintos?
Para que os tr�s n�meros somados seja um valor divis�vel por 3 a soma deve ser um n�mero do conjunto M = {3, 6, 9, ..., 450}, ou seja, todos os m�ltiplos de 3 poss�veis de serem formados atrav�s da soma de elementos do conjunto E = {1, 2, ..., 150} sendo o elemento m�nimo 1+ 1+ 1 = 3 e o m�ximo 150 + 150 + 150 = 450.
O n�mero de escolhas de 3 elementos de E que somados � 3 seria igual ao n�mero de solu��es inteiras positivas para a equa��o x + y + z = 3. J� que o x, y e z s�o inteiros positivos (tirados de E) existe apenas uma �nica solu��o, pois que ter�amos que considerar pelo menos uma unidade para x, y e z, ou seja, 1+1+1 = 3 --> 0+0+0 = 0.
O n�mero de possibilidades para que a soma seja 6 seria o n�mero de solu��es inteiras positivas para a equa��o x + y + z = 6. Novamente, cada termo x, y e z possui no m�nimo uma unidade, logo o n�mero de solu��es para essa equa��o seria equivalente ao n�mero de permuta��es com elementos repetidos de III++ (pois retirando tr�s unidades garantimos que x, y e z s�o >= 1 j� que s�o elementos de E). Ent�o, para a soma ser igual a 6 existem 5!/(3!2!) = 10 possibilidades.
Seguimos o mesmo racioc�nio para as somas 9, 12, 15, ..., 450.