[obm-l] RES: [obm-l] Função de Dirichlet e x^x

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi

O Bruno tambem jah deu boas explicacoes sobre a funcao f(x) = x^x. Soh gostari de frisar uns pontos.

Esta funcao, em principio, nao eh definoda em x =0, mas sabemos que lim x -> 0 x^x =1. Logo, f eh limitada numa vizinhanca de 0. Para todo b >0, f eh continua em (0, b], o que implica que seja continua, logo Riemann integravel, em [c , b] para todo  0 < c <=b. Se completarmos f definindo-a por 

f(0) = qualquer coisa, f(x) = x^x se x >0, entao, para todo b >0, f eh limitada em [0, b]e integravel em [c , b] para todo c em (0, b]. Hah um teorema que diz que, nesta condicoes, f eh Riemann integravel em [a, b] e Int  (a ,  b) f(x) dx = lim c -> 0+ Int (c, b) f(x) dx. Pela definicao de integral impropria, isso implica automaticamente que f seja integravel em (0, b] para todo b >0. Observe que, no caso geral, este teorema nen sequer exige que f apresente limite em x = 0.

Este teorema pode ser demonstrado pelas tecnicas da integral de Riemann, mas neste caso talvez seja um pouco mais facil usar teoria de medidas. Temos que (0, b] = Uniao (n =1, oo) [1/n , b]. Logo, D = Uniao (n =1, oo) D_n, sendo D o conjunto das descontinuidades de F em (0, b] e D_n similar conjunto para [1/n , b]. Como cada D_n tem medida de Lebesgue nula, segue-se da sub-aditividade da medida que m(D) =0 e que o conjunto das descontinuidades de f em [0, b], que tem no maximo  1 elemento a mais que D, tambem tem medida nula. Logo, f eh Riemann integravel em [0, b]. 

Conforme sabemos, a funcao [c , b]  -> Int (c, b) f(x) dx eh uma medida. Esta integral tanto pode ser vista como de Riemann ou de lebesgue, pois as duas coincidem. Pelas propriedades da medida , lim c -> 0+ Int (c, b] f(x) dx = Int (0, b]f(x) dx = Int[0, b] f(x) dx, em nada importando a definicao de f(0).  

Artur

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