Re: [obm-l] radical duplo

[fagner almeida <fagner_mat23@xxxxxxxxxxxx>]

valeu cara , vc quebrou maior  galh�o , muito boa sua demostra��o , deu show na didatica

 

Carlos Gomes <cgmat@digizap.com.br> escreveu:

percaba que ficou faltando um R nas express�es R(a+(b))  , na verdade onde aparecer R(a+(b)) entenda como R(a+R(b))

valew

 

Cgomes

----- Original Message -----

From: Carlos Gomes

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Sunday, May 20, 2007 9:55 AM

Subject: Re: [obm-l] radical duplo

Vamos l�...

 

vou definir...

 

R (x) = raiz quadrada de x

 

Assim,

 

R(a+(b)) = ?

 

queremos "quebrar" o radical duplo R(a+(b))  como uma soma de radicais simples, ou seja, R(a+(b)) =R(x) + R(y).

 

Vamos elevar ao quadrado os dois membros da igualdade R(a+(b)) =R(x) + R(y),

 

R(a+(b)) =R(x) + R(y).  ==> [R(a+(b))]^2 = [R(x) + R(y)]^2  ==>   a+R(b)  = (x + y) + 2.R(x).R(y)

 

igualando as partes racionais e irracionais no dois membros, temos:

 

a+R(b)  = (x + y) + 2.R(x).R(y)   ==>   x+y=a  e 4.xy=b  ==> y=a-x  e 4.xy=b

 

e da�...

 

4.x.(a-x) - b =0   ==>  4x^2-4ax+b=0   ==>  x' = [a+R(a^2-b)]/2   e x'' = [a-R(a^2-b)]/2 

 

Se  x=  [a+R(a^2-b)]/2  ent�o y=a -x =a - [a+R(a^2-b)]/2 ==>  y = [a-R(a^2-b)]/2 

 

Se  x=  [a-R(a^2-b)]/2  ent�o y=a -x =a - [a-R(a^2-b)]/2 ==>  y = [a+R(a^2-b)]/2 

 

 

assim em qualquer dos dois casos teremos:

 

R(a+(b)) =R(x) + R(y)   ==>   R(a+(b))  =  R[ (a+R(a^2-b))/2 ] + R[ (a - R(a^2-b))/2 ]

 

apenas para deixar a f�rmula mais "simp�tica" costuma-se chamar R(a^2-b) de c, assim a f�rmula final fica

 

R(a+R(b)) = R[(a+c)/2]  +  R[(a-c)/2] , onde c = R(a^2-b) .

 

o caso em que vc quer decompor R(a - R(b)) se faz de modo an�logo e a f�rmula final fica R(a - R(b)) = R[(a+c)/2]  - R[(a-c)/2] , onde c = R(a^2-b) .

 

Finalmente que a decomposic�o de um radical duplo como soma ( ou diferen�a) de radicais simples s� � poss�vel quando a^2-b � um quadrado perfeito, pois se n�o , apesar da f�rmula acima continar v�lida, vc n�o "quebra" o radical duplo em radicais simples pois no segundo membro da igualdade R(a - R(b)) = R[(a+c)/2]  - R[(a-c)/2]

ainda ter�amos radicais duplos visto que c = R(a^2-b) .

 

valew,

 

Cgomes

----- Original Message -----

From: fagner almeida

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Saturday, May 19, 2007 9:38 PM

Subject: [obm-l] radical duplo

alguem  sabe prova a formula do radical  duplo ? se prova  fico agradecido

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