[obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT)

Assunto:

[obm-l] equação do terceiro grau

> Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0

>

 

Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1

 

f(-1) = -3 < 0

f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2

f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0

f(1) = 1 > 0  ==> tem uma raiz entre 0 e 1

 

Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1.

Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).

 

Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).

Especificamente,

cos(3t) = cos(2t+t) =

cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) =

(2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =

2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =

4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)

 

x = cos(t) é raiz da equação ==>

8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==>

2*cos(3t) = 1 ==>

cos(3t) = 1/2.

 

Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:

3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==>

t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==>

cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)

(pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9))

 

Logo, as raízes da equação são:

cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).

 

[]s,

Claudio.