| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| C�pia: |
| Data: | Tue, 8 May 2007 12:54:29 -0700 (PDT) |
| Assunto: | [obm-l] funcao continua |
Basta usar o TVI com a fun��o g(x) = f(x) - x.
Mais interessante � provar que se f:[0,1]^2 -> [0,1]^2 � cont�nua, ent�o existe (a,b) em [0,1]^2 tal que f(a,b) = (a,b). (no caso, [0,1]^2 � o produto cartesiano [0,1]x[0,1], ou seja, o quadrado unit�rio).
Isso pode ser generalizado pra f:B -> B, onde B � qualquer conjunto homeomorfo � bola unit�ria do R^n. Esse � o teorema do ponto fixo de Brouwer.
Tem tamb�m um outro teorema de ponto fixo n�o muito dif�cil de provar, que � o seguinte: Se E � um subconjunto de R, k um n�mero no intervalo (0,1) e f:E -> E tal que |f(x) - f(y)| <= k*|x - y| para quaisquer x e y em E, ent�o existe um �nico c em E tal que f(c) = c. Al�m disso, dado qualquer x_0 em E, se formarmos a sequ�ncia x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), ..., ent�o x_n -> c.
Esse tamb�m tem generaliza��o: ao inv�s de um subconjunto de R, E pode ser qualquer espa�o m�trico completo. A demonstra��o � essencialmente a mesma (via sequ�ncias da Cauchy), mas as consequ�ncias s�o impressionantes (por exemplo, o teorema da aplica��o inversa e a exist�ncia e unicidade da solu��o de uma EDO).
[]s,
Claudio.