[obm-l] RES: [obm-l] Converg�ncia/diverg�ncia de uma serie

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal.

 

Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que  lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que

.
lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4).

Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que 

(1 + 1/n^(4/3))^n > 2

Tomando a raiz en�sima, vem

1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1.

 

Para n suficientemente grande, temos portanto que

 

0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3)

 

Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge,

 

Abracos

 

Artur

 

 

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-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Converg�ncia/diverg�ncia de uma serie

 
   A s�rie come�a com 2 e os termos v�o diminuindo at� zero,
assim d� para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero.
  Mas o termo geral tender a zero, n�o � uma condi��o suficiente para
converg�ncia.  Precisamos de um crit�rio, como o da compara��o.
   Eu tentaria, de imediato, algo do tipo:
                    Pegaria uma s�rie que eu sei que converge tal como
a_n =   1/(2^n-1), cuja conclus�o se tira pela compara��o com a s�rie
geom�trica,   e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia
o limite a_n/b_n quando n -> infinito.  Foi isso que voc� fez?

Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

 Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur