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[obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-�simas pot�ncias dos n primeiros naturais
O
processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas
pot�ncias dos n primeiros numeros naturais (como, na realidade, a da
soma das k-esimas potencias dos n primeiros termos de uma PA) eh um
polinomio do grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos
coeficientes a determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim
eh trabalhoso.
O
coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1).
Artur
.
Ol� � todos!
Algu�m
conhece uma f�rmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k?
Para k = 0, temos
S = n
Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2
Para k=2 pensei no
seguinte..
(1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1
(2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 +
3*2 -1
...
(n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1
Somando essas n
equa��es percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o
primeiro termo da pr�xima equa��o:
0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3
Desenvolvendo o racioc�nio chegamos na conhecida f�rmula S =
(n+1)(2n+1)*n/6
Para k=3 se ao inv�s de utilizarmos (n-1)^3, usarmos
(n-1)^4 tamb�m chegamos na express�o correspondente (S =
[(1+n)*n/2]^2)
D�vida: Podemos sempre utilizar uma diferen�a entre
n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somat�rio das pot�ncias dos n naturais
elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema � que a
sequ�ncia ficaria em fun��o de S(k-1). Como tirar essa recursividade?
--
Abra�os,
J.Renan