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[obm-l] RES: [obm-l] Maximização
Oi
Nehab,
obrigado. Esclareceu
o problema para mim.
Abs!
Oi,
Vinícius,
Como é meu hábito, ao invés de resolver problema
básicos postados, vou dar o caminho das pedras, propondo outro problema
simples para você ter uma percepção geométrica dos problemas
propostos:
Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z
= x + 2y, sabendo que:
(1) x >= 0
(2) y >= 0
(3) x + y <=
5
(4) 3x + 2y >= 6
Note que todas
as "restrições" são lineares e se você pensar no plano xy perceberá que cada
restrição define uma região do plano.
(1) região do 1 e 4
quadrantes;
(2) região do 1 e 2 quadrantes;
(3) região "abaixo" da reta
que passa pelos pontos (0;5) e (5;0);
(4) região acima da reta que passa
pelos pontos (2;0) e (0;3).
A interseção destas regiões é um
quadrilátero de vértices nos pontos (2;0); (5;0); (0;3) e (0;5).
Agora
imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você quer
maximizar...
Veja que as reta 4 = x + 2y e 6 = x + 2y são
paralelas e quanto maior o valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou
seja, se você vai aumentando z, o gráfico da reta z = x + 2y vai
subindo...
Ora, desejamos um par (x;y) que esteja "na região delimitada
pelo quadrilátero" e que torne a expressão z = x + 2y máxima,
certo?
Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a
uma reta que "encoste" na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto
possível, você entendeu a interpretação geométrica do problema de programação
linear.
E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção
das retas x + y = 5 e 3x + 2y = 6 (veja as
restrições 3 e 4). Daí basta calcular o valor de z para este
par.
Espero ter ajudado.
Abraços,
Nehab
At
07:25 30/3/2007, you wrote:
Bom dia.
Gostaria de obter de
vocês uma opinião a respeito de dois problemas de
maximização:
"Uma empresa de artigos de couro fabrica dois
tipos de produtos: malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para
fabricação. As malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por
unidade da mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias para
confeccionar cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em
cada departamento, são apresentados a seguir:
Departamento 1
Horas /
dia: 300
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias (mochila): 0
(não produz)
Departamento 2
Horas / dia: 540
Horas necessárias
(mala): 0 (não produz)
Horas necessárias (mochila): 3
Departamento
3
Horas / dia: 440
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias
(mochila): 2
Departamento 4
Horas / dia: 300
Horas necessárias
(mala): 6/5
Horas necessárias (mochila): 3/2
Maximizar o
lucro da empresa."
"Uma empresa fabrica três tipos de madeira
compensadas (placas de aglomerados) e possui três departamentos de produção:
1, 2 e 3. Os dados abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um
dos três departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada
departamento e o lucro unitário de cada placa:
Departamento I:
Tempo disponível: 900h
Departamento II: Tempo disponível:
400h
Departamento III: Tempo disponível: 600h
Placa A (lucro
por unidade fabricada: R$ 40):
Operações em horas (departamento I):
2h
Operações em horas (departamento II): 2h
Operações em horas
(departamento III): 4h
Placa B (lucro por unidade fabricada: R$
30):
Operações em horas (departamento I): 5h
Operações em horas
(departamento II): 5h
Operações em horas (departamento III):
2h
Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20):
Operações
em horas (departamento I): 10h
Operações em horas (departamento II):
3h
Operações em horas (departamento III): 2h
Maximizar o
lucro da empresa."
Equação e inequações do primeiro problema
(mala = x; mochila = y):
Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) +
40(y1+y2+y3+y4)
Restrições de cada departamento:
2x1 + 0y1 <=
300
3y2 + 0x2 <= 540
2x3 + 2y3 <= 440
(6/5)x4 + (3/2)y4 <=
300
Equação e inequações do segundo problema:
Função lucro:
40a + 30b + 20c
Restrições de cada
departamento:
2a+5b+10c<=900
2a+5b+3c<=400
4a+2b+2c<=600
Minha
dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à maximização
do todo? Ou eu devo considerar essas restrições interdependentes e fazer um
sistema linear de quatro (no primeiro problema) ou três (no segundo
problema) inequações?
Se a soma da maximização de cada uma das partes
puder ser considerada a maximização do todo, qual deveria ser o enunciado
para que as restrições pudessem, nos dois problemas, ser
interdependentes?
Obg,
Vinícius