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Olá Bruna,
vou te mostrar algumas coisas simples. Uma
abordagem mais completa pode ser vista no site do Nicolau aqui da lista, porem,
nao sei o endereco. Acredito que alguem nos forneca! :)
Vamos comecar com exemplos.. hehe :)
Vejamos que: 4 = 5*0 + 4 ... isto é, 4 deixa resto
4 quando dividido por 5...
Agora... 89 = 5*17 + 4... isto é, 89 deixa resto 4
quando dividido por 5...
assim como todo numero da forma 5k + 4, onde k é
inteiro, deixa resto 4 quanto dividido por 5...
entao, quando trabalhamos com modulo 5, dizemos que
todos esses numeros "sao iguais"... ou, mais corretamente, deixam o mesmo
resto...
entao: 4 = 9 = 89 (mod 5) ....
podemos aplicar isso pra qualquer
numero...
note que a subtracao de quaisquer 2 numeros que
tenham essa propriedade é um numero divisivel por 5.. vejamos:
9 - 4 = 5 = 5*1 + 0
89 - 4 = 5*17 + 0
utilizamos isso qdo nao nos importa qual o
quociente da divisao, mas sim o resto dela!
temos algumas propriedades interessantes...
vejamos:
a = b (mod m) significa que existe k1 inteiro, tal
que: a = mk1 + b
c = d (mod m) significa que existe k2 inteiro, tal
que: c = mk2 + d
somando as duas, temos: a + c = m(k1 + k2) + b + d
... isto é: a + c = b + d (mod m)
se fizermos c = a, b = d, temos: 2a = 2b (mod m)...
ou, mais genericamente, se a = b(modm), entao: ka = kb (mod m) para qualquer k
inteiro...
é facil mostrar (tente ai) que: se a = b (mod
m) e c = d (mod m), entao: ac = bd (mod m)
desta propriedade, tambem tiramos que, se: a = b
(mod m), entao: a^k = b^k (mod m) ... para k inteiro!
vamos ver uma utilidade pra isso...
sabe aquela regrinha: um numero eh divisivel por 3
se a soma de seus digitos tambem for?
vejamos: 10 = 1 (mod 3) .... pois: 10 = 3*3 + 1 ..
ou, 10 deixa resto 1 quando dividido por 3... ou, 10 - 1 é divisivel por 3 (sao
todas formulacoes iguais)
agora, pegue um numero qualquer, ele pode ser
escrito como: Somatorio(i=0 até n) a_i * 10^i..... onde a_i sao os seus
digitos..
por exemplo: 123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0
... entendeu?
bom, a_i = a_i (mod 3).... 10 = 1 (mod3) ... 10^i =
1^i = 1 (mod3) ... multiplicando, temos: a_i * 10^i = a_i (mod 3)
somando todos os a_i, temos: Somatorio (i=0 até n)
a_i * 10^i = Somatorio (i=0 até n) i (mod 3)
se somatorio (i=0 até n) a_i = 0 (mod 3), isto é, a
soma dos digitos eh divisivel por 3, entao o numero tambem eh divisivel por
3..
e esta provada nossa regrinha! :)
facilmente mostramos regra pra 2, 5, 7, 11... tente
ai!
bom, é uma introducao né?
espero ter esclarecido um pouco!
abracos,
Salhab
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