RE: [obm-l] Inseto e Geo espacial

[Jorge Armando Rehn Casierra Armando Rehn Casierra<jorgerehn@xxxxxxxxxxx>]

Sauda��es para todos!

Vamos "cortar" o cilindro (o copo) exatamente, na geratriz onde a formiguinha est�. Com isso formamos um ret�ngulo, de 12cm X 24cm, onde a formiguinha se encontra exatamente sobre o lado de 12cm  (se lembre onde n�s optamos cortar o cilindro), a 1cm de dist�ncia de um dos v�rtices desse lado. Vamos dizer que esse v�rtice � o v�rtice A. O outro v�rtice desse mesmo lado onde a formiga se encontra � C. O outro v�rtice do lado de 24cm onde est� o v�rtice A, � B. E �ltimo dos v�rtices desse ret�ngulo ser� D. Suponha que a formiga se encontra no ponto M, e a gota de mel no ponto N. Logo, temos que MA = 1cm, e d(N , AB) = 4cm, e d(N , AC) = d(N , BD) = 12cm (interprete d(X , PQ), como a dist�ncia do ponto X ao segmento PQ). Note que, do ponto de vista do nosso ret�ngulo, o significado que temos de que a formiga "entrou" no copo � de que a formiga "tocou" no segmento AB. Portanto seja P o ponto de AB onde a formiga "entra" no copo. Desse modo, o caminho que a formiga percorrer� ser� MP + PN, para minimiz�-lo, devemos ter que MP e PN fa�am o mesmo �ngulo com o segmento AB (isso � algo bem conhecido, e tem uma dedu��o um tanto simples, quando estudamos �tica isso surge na reflex�o dos espelhos planos, utilizando um princ�pio conhecido como Princ�pio de Fermat). Portanto, se tivermos PA=a, e PQ=b (Q � o ponto de encontro da geratriz do cilindro onde se encontra a gota de mel, com o segmento AB do nosso ret�ngulo), ent�o: a + b = 12, 1/a = 4/b <=> a = 12/5 e b = 48/5, e o caminho percorrido pela formiga � encontrado como a soma das hipotenusas MP e NP, onde sabemos o tamanho dos seus catetos. Um pouco de conta nos mostra que o caminho percorrido pela formiga ser� de 13cm (Letra D).

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> Date: Thu, 22 Mar 2007 22:37:40 -0300
> Subject: [obm-l] Inseto e Geo espacial
> From: vitoriogauss@uol.com.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Colegas..ralei nessa e nada...
> 
> Um copo cilindrico tem 12 cm de altura e uma circunfer�ncia da base medindo 24 cm. Um inseto est� do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto do lado de dentro, a 4 cm do topo, est� uma gota de mel. a gota e o inseto encontram-se em geratrizes desse cilindoro reto que s�o sim�tricas em rela��o ao seu eixo. desprezando-se a espessura do copo, a menor dist�ncia, em cm, que o inseto deve andar para atingir a gota de mel � 
> 
> A) 17 B)4+SQRT(45) C)1+4*SQRT(10) D)13 E)5*SQRT(5)
> 
> 
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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