Ol� Arkon e pessoal da lista!!!
Estou enviando os passos que segui para a solu��o do exerc�cio mas n�o cheguei a nenhum dos resultados que voc� colocou. Pediria que algu�m apontasse onde est� o erro que cometi durante a solu��o. Estou enviando em anexo a representa��o dos vetores que utilizei para resolver o problema (espero que o desenho esteja correto).
Observando o desenho, a �rea do tri�ngulo MPQ que queremos � A = 1/2.|a-b|.2.sqrt(42).sen(theta + alfa/2), utilizando a igualdade para c�lculo da �rea do tri�ngulo com lados |a-b| e 2.sqrt(42) que formam um �ngulo de (theta + alfa/2).
Como o enunciado diz que o m�dulo do produto vetorial dos vetores a e b � sqrt(41) temos: |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa), onde alfa � o �ngulo obtuso entre a e b. sqrt(41) = 7.3.sen(alfa) -> sen(alfa) = sqrt(41)/21.
Caso voc� queira uma demonstra��o de como o m�dulo do produto vetorial entre dois vetores � dado pelo produto dos m�dulos e do seno formado entre eles posso enviar em outra mensagem. Tamb�m posso colocar a demonstra��o do vetor resultado do produto vetorial entre dois vetores que � um vetor perpendicular a ambos e que suas componentes podem ser calculadas a partir do c�lculo do determinante de uma matriz composta pelas componentes dos dois vetores.
Me lembro at� que sempre procurei uma demonstra��o das rela��es do produto vetorial em livros de �lgebra Linear mas em todos os livros que procurei n�o encontrava. Fiquei tentando resolver at� que encontrei uma demonstra��o clara utilizando sistemas lineares homog�neos para achar o determinante que fornece o vetor perpendicular e utilizando rela��es trigonom�tricas simples e produtos not�veis para encontrar a igualdade |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa) que representa a �rea do paralelegramo formado entre os vetores a e b. Caso algu�m possa indicar o livro que contenha boas demonstra��es ficaria muito grato.
Continuando o exerc�cio:
Tendo o sen(alfa) podemos calcular o cos(alfa). cos(alfa) = sqrt(1 - (sen(alfa))^2) = sqrt(1 - 41/441) = sqrt((441-41)/441) = sqrt(400/441) = 20/21. Com o cos(alfa) calculado podemos encontrar o valor do m�dulo de a-b atrav�s da lei dos cosenos. |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2.|a|.|b|.cos(alfa) = 49 + 9 - 2.21.20/21 = 58 - 40 = 18 -> |a-b| = sqrt(18) = 3.sqrt(2)
Com o cos(alfa) tamb�m podemos encontrar o valor de sen(alfa/2) com a rela��o trigonom�trica cos(alfa) = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 -> 20/21 = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 -> 2.(sen(alfa/2))^2 = 1/21 -> (sen(alfa/2))^2 = 1/42 -> sen(alfa/2) = sqrt(42)/42. Com o sen(alfa/2) calculamos cos(alfa/2) que � sqrt(1722)/42
Atrav�s da lei dos senos podemos encontrar o valor de sen(theta) com a seguinte igualdade: |a-b|/sen(alfa) = |-b|/sen(theta) -> sen(theta) = sqrt(41.2)/42. Com o sen(theta) calculamos o cos(theta) que � 29.sqrt (2)/42.
Agora podemos calcular o valor do sen(theta + alfa/2) = sen(theta).cos(alfa/2) + sen(alfa/2).cos(theta) = (sqrt(41.2)/42).(sqrt(1722)/42) + (sqrt(42)/42).(29.sqrt(2)/42) = (sqrt(2.41.2.3.7.41)/42^2) + (29.sqrt (2.21.2)/42^2) = 2.41.sqrt(21)/42^2 + 2.29.sqrt(21)/42^2 = 140.sqrt(21)/(2.21)^2 = (2.2.5.7.sqrt(21))/(2.2.3.7.3.7) = 5.sqrt(21)/63
Finalmente podemos calcular a �rea do tri�ngulo MPQ. A = 1/2.3.sqrt(2).2.sqrt(42).5.sqrt(21)/63 = 5.sqrt(2.2.21.21)/21 = 5.2 = 10
Al�m da tentativa solu��o (que espero ser corrigida) encontrei essa solu��o nos arquivos da lista da OBM: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.1999a/msg00187.html onde a resposta encontrada � 10.sqrt(41). Onde ser� que errei para faltar o valor sqrt(41) multiplicando o 10???
Abra�os!!!--On 2/24/07, arkon <arkon@bol.com.br> wrote:Ol�, pessoal.Poderiam resolver esta, por favor.Abra�os e muito obrigado.O m�dulo do produto vetorial dos vetores a e b, que formam um �ngulo obtuso, � rq41 e |a| = 7 e |b| = 3.MP tem a dire��o da bissetriz do �ngulo de a e b e |MP| = 2rq42; MQ = a � b. A �rea do tri�ngulo MPQ �:
a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42. e) 2rq41rq42.
Henrique