Em 08/03/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> escreveu:
1)Mostre que para n >1 natural, 4^n+n^4 não pode ser primo.
Se n for um numero par eh imediato. Se n for um numero impar, entao:
4^n + n^4 = (2^2)^n + n^4 = (2^n)^2 + n^4 = (2^n + n^2)^2 - 2*(2^n)*(n^2) = (2^n + n^2)^2 - (2^(n+1))*(n^2) =
= {2^n + n^2 + n*2^[(n+1)/2]} {2^n + n^2 - n*2^[(n+1)/2]}.
Assim, 4^n + n^4 naum pode ser primo para n>1 natural.
2) Determine todos os n inteiros tais que n^2-8n+1 é um quadrado perfeito.
n^2 - 8n + 1 = k^2 => n^2 - 8n + (1 - k^2) = 0 => n = 4 + (15 + k^2)^(1/2) ou n = 4 - (15 + k^2)^(1/2)
15 + k^2 = m^2 => (m+k)(m-k) = 15 => m+k = 15 e m-k = 1 => k=7 ( k=-7 da mesmo valor de n)
ou m+k = 5 e m-k =3 => k = 1.
Assim, n = 0, 8, -4 e 12.