[obm-l] Re: [obm-l] Desenho Geom�trico [Complexos em Geometria e Napoleao]

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Nehab,

Os problemas a que voc� est� se referindo s�o os de
construir o tri�ngulo dados 3 pontos. Isto ser� tema
de um outro estudo para o qual j� estou pensando e
coletando dados.

Assim sua lista pode considerar o problema <A,G,I>
(e outros derivados como <A,I,M_a>) resolvido com
solu��o geom�trica "pura", enquanto que o <H,I,O>
(e outros derivados) est� resolvido no sentido de
n�o ser poss�vel a constru��o com r�gua e compasso.
No entanto, d� pra se falar muito deste problema (pra
come�ar, d� pra construir os raios R e r) pois muitos
pontos not�veis podem ser constru�dos. E tamb�m,
coisa interessante, h� uma elipse inscrita no tri�ngulo
com focos O e H se todos os �ngulos s�o agudos.
E por a� vai.

Prefiro tamb�m os problemas com solu��o geom�trica "pura",
mas �s vezes n�o consigo fugir da solu��o alg�brica ou anal�tica.
A maioria dos problemas de constru��o dados �ngulos e segmentos
possui tal solu��o.

Dois que gosto: <a,h_a,d_a> e <h_a,h_b,d_c> (este � dif�cil).
Tem uma solu��o no livro alem�o e outra no do Posamantier
(n�o estou certo da grafia). A solu��o usando
d_c sen(C/2)/h_a = h_b/(h_a+h_b) n�o vale.

Por outro lado, ainda procuro uma deste tipo para
<A,m_a,r> e <A,m_a,r_a>. N�o sei se tem. Tem uma
usando �lgebra e o poder de fatora��o do Mathematica pra
recair num polin�mio do segundo grau e uma outra por
GA onde aparece a interse��o de uma reta com uma
par�bola.

J� escrevi muito de novo.

[]'s
Lu�s

>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Desenho Geom�trico [Complexos em Geometria e  
>Napoleao]
>Date: Thu, 15 Feb 2007 10:44:41 -0200
>
>Oi, Lu�s
>
>Embora sem poder dedicar muito tempo para isto, estou mapeando os 
>exerc�cios de constru��es geom�tricas no tri�ngulo em n�veis de 
>aprendizagem (em 3 niveis) pois de fato, uns s�o imediatos mas outros ainda 
>s�o problemas em aberto.
>
>Minhas refer�ncias centrais continuam sendo os artigos publicados no 
>Mathematics Magazin - do William Wernick  (1982), que listou 139 problemas 
>e do Leroy F. Meyers (1996), que complementou algumas solu��es (n�o sei 
>quantos dos problemas est�o em aberto - parece que s�o uns 20).
>
>Mas meu interesse � desenvolver nos alunos "o olhar geom�trico", e ent�o 
>prefiro enfatizar os problemas com solu��o geom�trica "pura", evitando os 
>que usam solu��es por Geometria Anal�tica ou usando provas indiretas de 
>"n�o construtividade" (usando Gauss, ou suas conseq��ncias)
>
>Quanto ao prof Astyages Brasil (acho dif�cil haver duas pessoas com este 
>nome)  n�o o conhe�o pessoalmente, mas h� pouco tempo dei de cara numa 
>livraria com um livro (possivelmente o que voc� soube que ele publicou), 
>com no m�ximo umas 100 p�ginas em que o referido professor apresenta "3 
>demonstra��es" do �ltimo teorema de Fermat.  Logo... (� raro de acontecer, 
>mas este � um livro que n�o eu li e n�o gostei...).  Vide 
>http://www.papelvirtual.com.br/sitenovo/detalhes_produto2.asp?IDProduto=1058
>
>Quanto ao problema que voc� prop�s (o problema 25 do Wernick) - que 
>prometeu a solu��o ...
>
>"Construir com r�gua e compasso um  tri�ngulo dados o lado a ; a mediana m 
>relativa ao lado a  e a bisetriz interna d relativa ao lado"
>
>n�o consegui uma solu��o simples e fui atr�s de sua dica (l� vi a solu��o) 
>e de fato � muito engenhosa e dificilmente eu a encontraria.
>
>Abra�os,
>Nehab
>
>At 14:30 14/2/2007, you wrote:
>>Sauda,c~oes,
>>
>>Oi Nehab,
>>
>>Este teu email � o gancho pra mandar o problema e
>>a solu��o abaixo.
>>
>>==========
>>rhombus (losange) construction
>>Posted by: "Lu?s Lopes" qed_texte@hotmail.com qedtexte
>>Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST))
>>
>>Dear Hyacinthists,
>>
>>Construct a rhombus given a line and any four points
>>so that a diagonal is parallel to the line and each side
>>goes through one of those four points.
>>
>>"Mr. Smith" presented me this problem yesterday and
>>told me it has been given as an assignment in 1963.
>>And that he is still looking for a solution!
>>
>>As his memory may fail and I don't want to lose time
>>in an ill problem I would like to have your opinion
>>about it.
>>
>>Best regards,
>>Luis
>>
>>Dear Luis,
>>
>>Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on
>>opposite sides of the rhombus.
>>
>>Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter
>>from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same 
>>side
>>line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side
>>line and hence the directions of all the sides.
>>
>>Best regards,
>>Vladimir
>>
>>O Vladimir � da R�ssia e l� eu acho que o DG faz parte
>>do curr�culo.
>>
>>O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil.
>>S� conheci o Brasil recentemente, mas j� ouvi dizer
>>que ele foi um excelente professor de geometria e
>>afins. Talvez voc� possa falar um pouco a respeito dele.
>>
>>Soube que ele publicou um livro recentemente.
>>
>>Quem me prop�s o problema ontem foi o xxx
>>(encontrei-me ontem com ele pela primeira vez).
>>Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema
>>num teste. Ele viu na tela do meu computador a figura
>>da solu��o do problema <a,h_a,m_b> e se deteve perto
>>de mim (assim do nada) pra me dizer que recentemente
>>tinha resolvido um problena de DG. A conversa avan�ou e
>>ele quer dizer pro Brasil que conseguiu resolv�-lo.
>>
>>Por essas e outras n�o consigo entender por que o DG
>>foi retirado do curr�culo. E agora com os programas de
>>desenho deveria voltar.
>>
>>O problema <a,h_a,m_b> de construir o tri�ngulo com
>>estes dados � f�cil. Um outro <A,m_a,d_a> d_a=bissetriz
>>interna � bem interessante e legal.
>>
>>Conhe�o umas 4 solu��es para ele. A solu��o sint�tica que
>>apareceu num peri�dico � muito elegante. Recai no
>>problema <A,a,d_a>, um cl�ssico. A solu��o com GA
>>(do <A,m_a,d_a>) permite o uso de diversos conceitos,
>>a come�ar pela dedu��o do lugar geom�trico dos pontos
>>m�dios dos segmentos determinados pelas interse��es das
>>retas que passam pelo p� (D_a) da bissetriz com os lados
>>do tri�ngulo.
>>Num sistema conveniente isto d� uma hip�rbole (c�nicas,
>>outro assunto que poderia reaparecer num tratamento
>>geom�trico como o da apostila do C�lio Pinto) de v�rtices
>>A e D_a e ass�ntotas paralelas aos lados do �ngulo no
>>v�rtice A. A interse��o com o c�rculo (A,m_a) resolve o
>>problema.
>>
>>Conhe�o tb a solu��o sint�tica de um livro alem�o que
>>vou mostrar num livro que estou escrevendo.
>>
>>Podemos pensar no problema com a bissetriz externa
>>tamb�m.
>>
>>Outro problema interessante � <a,m_a,d_a>. Vou
>>colocar a solu��o sint�tica (a ess�ncia da geometria)
>>do prof. Paul Yiu que apareceu num jornal eletr�nico
>>(ForumGeometricorum) recentemente.
>>
>>Caraca, n�o quero ganhar o concurso de quem faz o
>>mais longo email.
>>
>>[]'s
>>Lu�s
>>
>>>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
>>>Date: Wed, 14 Feb 2007 13:04:33 -0200
>>>
>>>Oi Claudio,
>>>
>>>Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos colegas, 
>>>pois que � mais sobre Educa��o em Matem�tica (que � minha praia mais 
>>>amada)  do que sobre problemas em Matem�tica (que hoje � apenas um 
>>>passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me encanto aprendendo 
>>>com voc�s).
>>>
>>>Muito �teis as informa��es complementares inclusive a piadinha da 
>>>"press�o... (e c� para n�s, em mat�ria de ego o Fermat e o Napoleao... 
>>>uhmmm n�o sei quem era mais doente, n�o)...
>>>
>>>Mas a principal raz�o de eu ter comentado que uso a tal propriedade dos 
>>>complexos para matar  problemas em geometria vem de uma preocupa��o 
>>>anterior que n�o explicitei (s� pensei) no email anterior  :-)
>>>
>>>Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em "enxergar" geometria 
>>>(uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacredit�vel at� 
>>>para desenhar um cubo em perspectiva).    Talvez a raz�o se origine l� 
>>>atr�s, quando disciplinas como Desenho Geom�trico, Geometria Descritiva e 
>>>Perspectiva faziam parte do curr�culo normal e deixaram de s�-lo.   A 
>>>cegueira geom�trica aumentou consideravelmente de l� para c�.
>>>
>>>Assim rota��es, transla��es, homotetias, simetrias, invers�es e um pouco 
>>>de homologia eram t�cnicas usadas para "matar" geometricamente in�meros 
>>>problemas e desenvolver nossa capacidade de "ver"  geometricamente.   
>>>Hoje, embora haja in�meros textos bem escritos sobre todos estes 
>>>assuntos, a maioria n�o possui o desejado vi�s puramente geom�trico.
>>>
>>>Naturalmente, como voc� comentou, h� a informa��o abundante dispon�vel na 
>>>Internet (ali�s sou frequentador ass�duo dos sites que voc� mencionou: 
>>>s�o MUITO bons  (  www.cut-the-knot.org e  www.nrich.maths.org  ) mas o 
>>>trabalho escolar sobre os temas praticamente desapareceu.
>>>
>>>Hoje, n�o h� cursos de constru��es geom�tricas na escola formal.  Depois 
>>>neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do c�rebro da galera 
>>>- o que n�o se usa atrofia, n� - e os neur�nios n�o usados v�o pro 
>>>belel�u :-).
>>>
>>>� isto: t�o faltando por ai uma boa d�zia de clones do prof Wagner (um 
>>>craque) ...
>>>
>>>Abra�os,
>>>Nehab
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