RE: [obm-l] soma de senos

["Rogério Possi Júnior" <ropossijr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Vanderlei,

Seja z=cosx +i.senx

=> z^2 = cos(2x) + i.sen(2x)
=> z^3 = cos(3x) + i.sen(3x)
....................................
....................................
....................................
=> z^n = cos(nx) + i.sen(nx)

Somando tudo, tem-se que:

z^2 + z^3 + ... + z^n = z.(z^n -1)/(z-1) =[ cos x + cos(2x) + ... + cos(nx) 
] + i.[ senx + sen(2x) + ... + sen(nx)] = S1 +i.S2

Queremos a soma de "senos" , logo nos interessa a parte imaginária da soma 
acima.

Como

z.(z^n -1)/(z-1) = [z. z^(n/2) . ( z^(n/2) - z^(-n/2) ) ]/ [z^(1/2) . ( 
z^(1/2) - z^(-1/2) ) ] =
= z^( (n+1)/2 ) . sen (nx/2) / sen (x/2) = cos (n+1)x/2 + i.sen (n+1)x/2

Logo: S2 =[ sen (n+1)x/2 . sen (nx/2) ] / sen (x/2)

Sds,

Rogério



>From: vandermath@brturbo.com.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] soma de senos
>Date: Tue, 06 Feb 2007 11:14:01 -0200
>
>Oi pessoal, alguém poderia me auxiliar na seguinte soma:
>
>S = sen(x) + sen(2x) + sen(3x) +...+ sen(nx) utilizando para isso a 
>identidade
>(cosx +i.senx)^n = cos(nx) + i.sen(nx) ?
>
>Obrigado,
>
>Vanderlei

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