[obm-l] Re: [obm-l] Progress�es

["Carlos Gomes" <cgmat@xxxxxxxxxxxxxx>]

Bruna, A resposta � C, visto que se (a,f,n) � uma PA e uma PG  (com termos 
n�o negativos) implica que os tr�s termos s�o iguais (veja o meu argumento 
abaixo!), o que � imposs�vel pois o av� o filho e o neto  n�o podem 
evidentemnte ter a mesma idade!

Sejam a, f , n tr�s n�meros que nesta ordem formam uma PA e uma PG 
simult�neamente, ent�o

Se (a,f,n) � uma PA ==> f -a = n - f  ==> f = (a+n)/2
Se (a,f,n) � uma PG ==> f/a = n/f  ==> f^2 =a.n  ==> f= sqrt(a.n) , pois 
estamos supondo f>0.

Assim, temos que f = (a+n)/2 e f= sqrt(a.n)  ==>  sqrt(a.n)=(a+n)/2 , 
noutras palavras a m�dia geometrica entre a e n e a media aritm�tica entre a 
e n s�o iguais! � um fato bem conhecido que essa igualdade s� ocorre se os 
n�meros a e n forem iguais. Assim temos que a=n. Como  f = (a+n)/2 = (a+a)/2 
= a. Logo a=f=n.

Obs. Para mostrar que sqrt(x.y)=(x+y)/2  <==> x = y.  Fa�a o seguinte....

sqrt(x.y)=(x+y)/2   ==>  2.sqrt(x.y) = x+y  ==> [sqrt(x)]^2 - 
2.sqrt(x).sqrt(y) + [sqrt(y)]^2 = 0  ==> [sqrt(x)-sqrt(x)]^2=0  ==> 
sqrt(x)=sqrt(y) ==> x=y. A rec�proca � �bvia!

Cgomes



----- Original Message ----- 
From: "Bruna Carvalho" <bruna.carvalho.pink@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 05, 2007 8:09 PM
Subject: [obm-l] Progress�es


Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu
neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar:

(A) � imposs�vel que a, f e n estejam em progress�o aritm�tica.
(B) � imposs�vel que a, f e n estejam em progress�o geom�trica.
(C) � imposs�vel que a, f e n estejam simultaneamente em progress�o
aritm�tica e geom�trica.
(D) � poss�vel que a, f e n estejam simultaneamente em progress�o
aritm�tica e geom�trica.
(E) � poss�vel que a, f e n estejam em progress�o aritm�tica, mas �
imposs�vel que estejam em progress�o geom�trica.

-- 
Bjos,
Bruna

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