| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| C�pia: |
| Data: | Wed, 22 Nov 2006 00:57:24 -0200 |
| Assunto: | Re: [obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006 |
Outro modo de pensar:
A id�ia � que polinomios com raizes (todas elas) em pares de produto 1 deve ser sim�trico. Ou seja, p(x)=x^np(1/x)
*** De fato, o enunciado fala apenas num par de ra�zes com produto 1. Mas isso n�o afeta o resto do seu racioc�nio.
p � o polinomio minimal de r, fato consumado.
Se o grau do polinomio p � n, temos que X^n * p(1/X) tem grau n e zera em r.
Logo p(X) divide X^n * p(1/X), o que significa que os polinomios diferem pelo produto de uma constante.
*** Essa observa��o elementar de fato simplifica bastante a solu��o e evita todo aquele algebrismo com os coeficientes. Gostei!
Como os dois polinomios sao iguais quando X=1, entao os dois polinomios sao iguais.
Entao temos o fato
X^n * p(1/X) =p(x).
Se n fosse �mpar, temos
(-1)^n * p(-1) =p(-1)
e assim -1 � raiz do polinomio, imposs�vel pois o polin�mio � irredut�vel.
P.S.: O problema nao usa todo o poder do fato de o polinomio ser irredut�vel, apenas o de nao ter raiz (-1)
*** Tamb�m usa o fato de que o termo independente de um polin�mio irredut�vel � n�o-nulo. Caso contr�rio, x^n*p(1/x) teria grau < n e o seu argumento n�o funcionaria.
[]s,
Claudio.