Solucao horrivel do problema abaixo:
Por hipotese, existem inteiros m, n e p tais que a = m/3, b = n/6, c = p/6.
Tambem por hipotese, a^3+2b^3+4c^3-6abc =
m^3/27+n^3/108+p^3/54-mnp/18 =
(n^3+2p^3+4m^3-6npm)/108 = k = inteiro ==>
n^3+2p^3+4m^3-6npm = 108k ==>
n e par ==> n = 2r ==> 8r^3+2p^3+4m^3-12rpm = 108k ==>
p^3+2m^3+4r^3-6pmr = 54k ==>
p e par ==> p = 2s ==> 8s^3+2m^3+4r^3-12smr = 54k ==>
m^3+2r^3+4s^3-6smr = 27k (+) e a = m/3, b = r/3, c = s/3.
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Olhando (+) mod 3 (e usando Fermat): m-r+s == 0 (mod 3) ==>
m == r-s ==> m^2 == r^2+s^2-2rs ==>
m^2 - 2rs == r^2+s^2-4rs == r^2+s^2+2rs == (r + s)^2 (mod 3) (*)
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Suponhamos que r+s <> 0 (mod 3) ==> (r+s)^2 == 1 (mod 3).
Nesse caso, 2rs == m^2 - 1 == (m-11)(m+1) (mod 3) ==>
2mrs == m(m-1)(m+1) == 0 (mod 3) (o produto de tres inteiros consecutivos e sempre multiplo de 3) ==> 6mrs == 0 (mod 9) ==>
Olhando (+) mod 9: m^3+2r^3+4s^3 == 0 (mod 9).
Agora, se x == 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (mod 9), entao:
x^3 == 0, 1, 8, 0, 1, 8, 0, 1, 8 (mod 9) ==>
2x^3 == 0, 2, 7, 0, 2, 7, 0, 2, 7 (mod 9) ==>
4x^3 == 0, 4, 5, 0, 4, 5, 0, 4, 5 (mod 9) ==>
Analisando todas as possibilidades, concluimos que:
m^3+2r^3+4s^3 == 0 (mod 9) ==> m == r == s == 0 (mod 3) ==> (r+s)^2 == 0 (mod 3) ==> contradicao, pois estamos supondo r+s <> 0 (mod 3) ==> so pode ser r+s == 0 (mod 3) <==> r == -s (mod 3)
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(usando (*) acima) m^2-2rs == 0 (mod 3) (**)
Como m-r+s == 0 (mod 3), temos: m == s e m == -r (mod 3) ==>
m^2 == -rs (mod 3) ==> m^2+2rs == 0 (mod 3) (***)
(**) + (***) ==> 2m^2 == 0 (mod 3) ==> m == 0 (mod 3)
(***) - (**) ==> 4rs == 0 (mod 3) ==> rs == 0 (mod 3).
Como r == -s (mod 3), isso implica que r == s == 0 (mod 3) ==>
a = m/3, b = r/3, c = s/3 sao inteiros.
[]s,
Claudio.
| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Fri, 3 Nov 2006 23:05:29 +0000 (GMT) |
| Assunto: | [obm-l] Problema nos inteiros |
Olá para todos!
Estou com o seguinte problema:
Sejam a, b, c números racionais tais que 3a, 6b, 6c, a^3+2b^3+4c^3-6abc são inteiros. Podemos concluir que a, b, c são inteiros?
Esse tem me dado muita dor de cabeça. Se alguem tiver alguma idéia, agradeço.
Tertuliano