[obm-l] Re: [obm-l]Re:[obm-l] M�trica que induz a topologia discreta

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Vi este exemplo hoje, andei doente. Acho que est� certo, eu pelo menos nada vi de errado. Parab�ns pela criatividade!
Artur

----- Original Message ----
From: claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, October 27, 2006 11:18:56 AM
Subject: [obm-l]Re:[obm-l] M�trica que induz a topologia discreta


Exemplo de um espaco metrico X nao enumeravel com uma metrica que induz a topologia discreta e tal que e possivel encontrar um 
subconjunto nao enumeravel Y de X tal que cada elemento de (0,+inf) e raio de alguma bola centrada em algum elemento de Y e 
contondo apenas aquele elemento.

Seja X = Uniao(a em (0,+inf)) {(k,ak) | k e inteiro positivo}.
Ou seja, X e o conjunto de pontos de abscissa inteira positiva em cada semi-reta emanando da origem e contida no primeiro quadrante.
X e claramente nao enumeravel.

Definimos d:XxX -> (0,+inf) por:
d((m,am),(n,an)) = |m-n|a
e
d((m,am),(n,bn)) = am+bn, se a <> b.
(essa poderia ser chamada de metrica Federal Express: se p e q nao sao colineares com a origem, entao, para ir de p ate q, voce 
primeiro tem que ir de p ate a origem (Memphis, o centro de triagem da FedEx) e depois ir da origem ate q).

Claramente, para quaisquer p, q em X, d(p,q) = d(q,p), d(p,q) >= 0 com igualdade sss p=q e, finalmente:
d((m,am),(n,an)) + d((n,an),(k,ak)) = |m-n|a + |n-k|a >= |m-k|a = d((m,am),(k,ak));
Se a <> b:
d((m,am),(n,an)) + d((n,an),(k,bk)) = |m-n|a + an + bk >= ma + bk = d((m,am),(k,bk))
(m >= n ==> |m-n|+n = m-n+n = m >= m  e  m < n ==> |m-n|+n=2n-m > 2m-m = m)
Se a <> b e b <> c: 
d((m,am),(n,bn)) + d((n,bn),(k,ck)) = am+ bn + bn + ck >= am+ck = d((m,am),(k,ck)).
Logo, d e uma metrica.

O ponto mais proximo de (1,a) eh (2,2a), que esta a uma distancia de a.
Qualquer ponto em outra semi-reta, digamos (k,bk) estar a uma distancia de a+bk > a.
Se m > 1, os pontos mais proximos de (m,am) sao (m-1,a(m-1)) e ((m+1,a(m+1)), ambos a uma distancia a.
Logo, qualquer bola de centro em (m,am) e raio a/2 vai conter apenas (m,am). Ou seja, d induz a topologia discreta em X.

Seja agora a em (0,+inf). Entao, a bola de centro em (1,2a) e raio a contem apenas o ponto (1,2a).
Assim, seja Y = Uniao(a em (0,+inf)) {(1,2a)}. Y e nao enumeravel e cada elemento de (0,+inf) e raio de alguma bola centrada em 
algum elemento de Y e contendo apenas aquele elemento.

Alguem ve algum furo no exemplo acima?

[]s,
Claudio.

---------- Cabe�alho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia: 
Data: Fri, 20 Oct 2006 13:23:49 -0300
Assunto: [obm-l] M�trica que induz a topologia discreta

> Gostaria de coment�rios a respeito da demonstra��o apresentada a seguir:
>  
> Afirma��o:
>  
> Seja X um conjunto n�o enumer�vel e seja d uma m�trica definida em X que
> induza a topologia discreta. (A topologia discreta � aquela em que conjuntos
> formados por um �nico elementos s�o abertos, o que equivale a dizer que
> nenhum elemento de X � ponto de acumula��o de X - da� o nome discreta).
> Ent�o, para algum eps>0, existe um subconjunto n�o enumer�vel A tal que
> d(x1,x2)  >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso
> trivial � quando d � a chamada m�trica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se
> x1<>x2, e d(x1,x2) =0,  se x1= x2. A m�trica citada no enunciado n�o tem que
> ser um m�ltiplo positivo da m�trica discreta. Se fosse, nada ter�amos a
> demonstrar.)
>  
> Demonstra��o.
>  
> Como o conjunto  {x} � aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe
> r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x
> e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que
> Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto n�o-enumer�vel {r_x} e �
> dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao � poss�vel que todos os
> A_n contenham uma quantidade apenas enumer�vel de n�meros r_x (ou {r_x}
> seria enumer�vel). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao � enumeravel.
> Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m},
> ent�o d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo �
> enumer�vel pois � equivalente ao naoo enumer�vel A_m inter {r_x}. 
>  
> Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual
> seja, o de que {r_x} n�o � enumer�vel. Na realidade, a cada x podemos
> associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b
> finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um
> conjunto de raios r_x?  Estou na d�vida.
>  
> Abra�os
> Artur
> 
> 


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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