[obm-l] Re:[obm-l] M�trica que induz a topologia discreta

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

 

Se eu entendi direito o enunciado, para cada x em X, existe r_x em (0,+inf) tal que B(x,r_x) inter X = {x}.

Isso nos permite definir (via axioma da escolha) uma fun��o f:X -> (0,+inf) tal que f(x) = r_x.

Suponha que, para cada n em N, f^(-1)( (1/n,+inf) ) seja enumer�vel.

Nesse caso, Y = Uni�o(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) ser� um subconjunto enumer�vel de X, j� que � a reuni�o enumer�vel de conjuntos enumer�veis.

No entanto, Y = Uni�o(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) =

f^(-1)( Uni�o(n em N) (1/n,+inf) ) = 

f^(-1)( (0,+inf) ) = X ==>

X � enumer�vel ==> contradi��o.

Logo, vai existir p em N tal que f^(-1)( (1/p,+inf) ) � n�o enumer�vel.

Tomemos A = f^(-1)( (1/p,+inf) )  e  eps = 1/p.

Ent�o A � um subconjunto n�o-enumer�vel de X tal que, para cada x em A, 

B(x,eps) inter A = {x}.

 

O que voc� acha?

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Fri, 20 Oct 2006 13:23:49 -0300

Assunto:

[obm-l] M�trica que induz a topologia discreta

> Gostaria de coment�rios a respeito da demonstra��o apresentada a seguir:

>  

> Afirma��o:

>  

> Seja X um conjunto n�o enumer�vel e seja d uma m�trica definida em X que induza a topologia discreta. (A topologia discreta � aquela em que conjuntos formados por um �nico elementos s�o abertos, o que equivale a dizer que nenhum elemento de X � ponto de acumula��o de X - da� o nome discreta). Ent�o, para algum eps>0, existe um subconjunto n�o enumer�vel A tal que d(x1,x2)  >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso trivial � quando d � a chamada m�trica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se x1<>x2, e d(x1,x2) =0,  se x1= x2. A m�trica citada no enunciado n�o tem que ser um m�ltiplo positivo da m�trica discreta. Se fosse, nada ter�amos a demonstrar.)

>  

> Demonstra��o.

>  

> Como o conjunto  {x} � aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto n�o-enumer�vel {r_x} e � dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao � poss�vel que todos os A_n contenham uma quantidade apenas enumer�vel de n�meros r_x (ou {r_x} seria enumer�vel). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao � enumeravel. Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m}, ent�o d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo � enumer�vel pois � equivalente ao naoo enumer�vel A_m inter {r_x}.

>  

> Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual seja, o de que {r_x} n�o � enumer�vel. Na realidade, a cada x podemos associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um conjunto de raios r_x?  Estou na d�vida.

>  

> Abra�os

> Artur