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RES: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Acho
que o erro no enunciado eh que a transfomra��o � de P2 em P2 (o espa�o dos
polin�mios de grau menor ou igual a 2). A� pode-se definir
T(ax^2+bx+c)=ax^2+cx+b, que � de fato uma transfomra��o
linear.
Um
autovetor ser� um polin�mio (n�o-nulo) que satisfa�a ax^2+cx+b=k(ax^2+bx+c)
(como igualdade de polin�mios, uma identidade em x). Ou seja, a=ka, c=kb e
b=kc. Resolvendo, temos:
i) Se
k=1, ent�o qualquer polin�mio onde b=c vale. Assim, temos o autovalor 1 e os
autovetores da forma ax^2+bx+b (um espa�o bidimensional de autovetores, com uma
poss�vel base dada por {x^2,x+1}).
ii) Se
k=-1, devemos ter a=0 e b=-c, que servem. Assim, temos o autovalor -1 e os
autovetores da forma bx-b (espa�o de dimens�o 1 gerado pelo autovetor
{x-1}).
iii) E
� s� isso. Como c=kb=k^2c, se k n�o for nem 1 nem -1, ter�amos c=0, ent�o b=0.
Como k<>1, a=0 tamb�m. Isto seria o polin�mio nulo, que n�o
presta.
Resposta: Autovalores 1 e -1. Os autovetores associados ao 1 est�o
no autoespa�o gerado por {x^2,x+1}; os associados ao -1 s�o os m�ltiplos de
{x-1}.
Abra�o,
Ralph
Quais os autovalores e
autovetores de uma T:R� -> R� tal que T(ax� + bx + c) = ax� + cx + b
?
Muito obrigado.