Vai que por isso eu não estava conseguindo sair do canto, Nicolau. Mas como você citou que suponha não haver mais hipóteses, vou te relatar o problema e minha resolução. Talvez eu esteja confundindo alguma coisa. Vamos lá!
PROBLEMA: Prove que não existe um grupo G tal que |G/Z(G)|=15
Minha RESOLUÇÃO: Supondo que exista tal grupo, resolvi encarar S=G/Z(G) como um grupo e aplicar os teoremas de Sylow, pra tentar chegar numa contradição.
Como |S|=3.5 o 1° Teorema de Sylow nos garante que S contém pelo menos um 3-subgrupo de Sylow H e pelo menos um 5-subgrupo de Sylow K. Pelo 3° Teorema de Sylow, cheguei à conclusão de que o número de 3-subgrupo de Sylow e 5-subgrupo de Sylow é exatamente 1. A partir de um corolário dos teoremas de Sylow, concluímos que esses subgrupos H e K são normais com relação à S.
Do fato de H e K serem normais em S, concluímos que HK é um subgrupo de S, e por um princípio de contagem temos que
|HK |=(|H|.|K|) / | H^K |
onde H^K significa a interseção entre esse dois conjuntos.
Pelo Teorema de Lagrange concluímos que H^K={e}, e assim S=HK. com H e K subgrupos normais de S. Logo,
S é isomorfo à Z_3 x Z_5 que é cíclico pois o mdc(3,5)=1. Temos também que todo grupo cíclico é abeliano. Logo, G/Z(G) é cíclico e abeliano.
Parei por aí, Nicolau. Queria provar que o fato de G/Z(G) ser abeliano implicaria no fato de G ser abeliano. Daí, G seria igual ao seu centro Z(G). Mas acho que estou no caminho errado. O que você acha?
Abraços. Thiago.
Em 22/09/06, Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br
> escreveu:
On Fri, Sep 22, 2006 at 04:13:29PM -0300, Thiago Lucas wrote:
> Olá, pessoal. Como eu provo que se G/Z(G) é abeliano então G é abeliano?
Supondo que Z(G) signifique o centro de G e que não haja mais nenhuma
hipótese então você não prova pq é falso. Tome por exemplo G o grupo
de oito elementos {+-1, +-i, +-j, +-k} com a multiplicação dos quatérnios,
i.e., i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j.
É fácil verificar que Z(G) = {+-1} e que G/Z(G) é abeliano, mas que
G não é abeliano.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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