Re: [obm-l] Duvida r�pida! Importante!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jun 21, 2006 at 02:20:11PM -0300, Maurizio Casalaspro wrote:
> Ol� a todos,
> 
> recentemente pedi ajuda com o processo de Bion Rinaldini, mas estudei aqui e
> consegui um progresso.
> 
> Seja o centro da circunfer�ncia na (2r,0), aonde r � o raio da
> circunferencia, da seguinte forma:
> http://i6.tinypic.com/155jwpf.gif
> 
> E seja L o numero de lados que ter� o pol�gono, ent�o divido o diamentro 
> de
> p� da circunferencia em L partes iguais. Quero uma fun��o que parta da
> origem e passe pela segunda divis�o do diametro em L lados, de forma que
> essa altura valha r-4r/L
> 
> 
> RESUMINDO
> A fun��o � f(x)=(1/2-2/L).x.r
> A circunferencia � (x-2r)^2+y^2=r^2
> 
> Quero provar que o ponto da direita dista do ponto (2r,0) exatamente o lado
> de um ene�gono que ser� inscrito nessa circunfer�ncia.
> 
> Ouuuu, aparentemente mais facil... provar que se eu tiver fun��es do tipo
> f(x)=(1/2-2Y/L)xr sendo Y constante inteiro sem que 2Y/L ultrapasse 1, cria
> pontos com intersec��es da circunferencia do lado direito que s�o
> equidistantes.
> 
> Como exemplo, vou mostrar um ene�gono:
> http://i5.tinypic.com/155kmli.jpg
> Devo provar que os lados em negrito s�o iguais...
> 
> (isso parece muito com f�sica �tica, mas n�o sei fisica �tica ent�o 
> travei)
> (acho que tem a ver com o angulo de reflex�o ir para o centro da
> circunfer�ncia... sei l�)
> 
> Eu gostaria muito que algu�m que tiver alguma ideia responda rapidamente
> pois devo provar esse processo at� quinta de noite...

Antes de mais nada: este processo que voc� descreve � uma aproxima��o.
N�o existe contru��o exata com r�gua e compasso para o hept�gono nem para
o ene�gono regulares.

Para mostrar que a constru��o � uma aproxima��o razo�vel, a coisa mais
ing�nua a fazer � calcular com uma calculadora ou software matem�tico
as coordenadas aproximadas dos pontos. Na sua figura, a circunfer�ncia
� (x-2)^2 + y^2 = 1 e as retas passam por (0,0) e pelos pontos
(2,1), (2,5/9), (2,1/9), (2,-3/9), (2,-7/9).
Ou seja, s�o as retas y = x/2, y = 5x/18, y = x/18, y = -3x/18, y = -7x/18.
Uso agora o maple para encontrar as coordenadas dos pontos:

> eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = 5*x/18}: fsolve(eqns);
                      {x = 2.670587992, y = 0.7418299977}

> eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = x/18}: fsolve(eqns);  
                      {x = 2.986143113, y = 0.1658968396}

> eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = -3*x/18}: fsolve(eqns);
                     {x = 2.877496645, y = -0.4795827743}

> eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = -7*x/18}: fsolve(eqns);
                     {x = 2.379288001, y = -0.9252786672}


Compare isto agora com os valores corretos:

> print(evalf(2+sin(2*Pi/9)), evalf(cos(2*Pi/9)));
                           2.642787610, 0.7660444431

> print(evalf(2+sin(4*Pi/9)), evalf(cos(4*Pi/9)));
                           2.984807753, 0.1736481773

> print(evalf(2+sin(6*Pi/9)), evalf(cos(6*Pi/9)));
                          2.866025404, -0.5000000000

> print(evalf(2+sin(8*Pi/9)), evalf(cos(8*Pi/9)));
                          2.342020143, -0.9396926208


Como voc� pode ver, � uma aproxima��o apenas razo�vel,
com erros �s vezes maiores do que 0.025 = 1/40.

[]s, N.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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