Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!.
Um jeito de resolver é provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do que o expoente com que este primo aparece em m!*n!*(m+n)!.
Ou seja, temos que provar que, para cada primo p,
SOMA(k>=1) ([2m/p^k] + [2n/p^k]) >=
SOMA(k>=1) ([m/p^k] + [n/p^k] + [(m+n)/p^k]
([x] = maior inteiro menor ou igual a x)
Para isso é suficiente provar a
desigualdade:
[2x] + [2y] >= [x] + [y] + [x+y], onde x e y são reais quaisquer.
x = [x] + {x}
y = [y] + {y} ==>
[2x] + [2y] = 2[x] + 2[y] + [2{x}] + [2{y}] (i)
[x] + [y] + [x+y] = 2[x] + 2[y] + [{x}+{y}] (ii)
Subtraindo (ii) de (i), obtemos:
[2x] + [2y] - [x] - [y] - [x+y] = [2{x}] + [2{y}] - [{x}+{y}]
Assim, o problema se reduz a provar que, se a e b pertencem a [0,1), então
[2a] + [2b] >= [a+b].
Supondo s.p.d.g. que 0 <= a <= b < 1, vamos por casos:
i) 0 <= a <= b < 1/2 ==> 0 >= 0
ii) 0 <= a < 1/2 <= b < 1 ==> 1 >= 0 ou 1
ii) 1/2 <= a <= b < 1 ==> 2 >= 1
Logo, a desigualdade vale sempre e acabou...
***
O mais legal, entretanto, é achar algum problema de combinatória onde um dado conjunto tenha (2m)!*(2n)!/(m!*n!*(m+n)!) elementos.
[]s,
Claudio.
| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: | Tue, 9 May 2006 20:48:46 -0300 |
| Assunto: | Re: [obm-l] Ajuda |
> m! e n! esta contido em 2m! e 2n!, falta so provar que (m+n)! esta contido em 2m ou 2n fatorial desenvolvidos.
> caso em que m=n
> m+n0=2m=2n
> o que da resultado inteiro
> m maior que n ou n maior que m
> 2m ou 2n maior que m+n, o qque demonstra que o denominador tambem se anula neste caso, como m e n sao inteiros, o numerador vais ser uma produto de numeros inteiros.
>
>
On 5/9/06, Manoel P G Neto Neto <buniakovski@yahoo.com.br> wrote: Olá amigos da lista,
Vocês poderiam me ajudar com a questão:
Sejam m, n inteiros positivos, então
(2m)! (2n)! / m! n! (m+n)!
é um número
inteiro.
Grato.