Re:[obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 11 May 2006 16:38:26 -0300
Assunto: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros

> Alguem conhece este teorema?
> Suponhamos que P seja um polinomio do grau n com coeficientes inteiros e
> tenha um numero impar de coeficientes impares, incluindo, dentre estes
> ultimos, os coeficientes do termo independente e do termo dominante. Entao,
> P nao tem raizes a + b*i nas quais a e b sejam ambos racionais. O que
> implica que P nao admite raizes reais racionais.
> Eu vi um esquema da demonstracao, nao entendi tudo. No caso especifico de
> n=2 a demosntracao eh simples.
> Artur
> 
> 

Suponhamos que (a + bi)/c seja uma raiz de p(x), com a, b e c inteiros, c <> 0 e mdc(a,b,c) = 1 (se mdc(a,b,c) > 1, 
poderiamos cancelar este fator comum de a, b e c).
Nesse caso, (a - bi)/c tambem eh raiz ==> 
p(x) eh divisivel por c^2x^2 - 2acx + (a^2+b^2) (em Z[x])

Como o coeficiente lider e o termo independente de p(x) sao impares, temos que c^2 e a^2+b^2 sao impares, pois sao fatores 
do coeficiente lider e do termo independente, respectivamente. 

A condicao nos coeficientes significa que se z eh um inteiro impar, entao p(z) tambem eh impar.
Em particular p(1) eh impar.

p(1) = c^2 - 2ac + (a^2+b^2) = impar - par + impar = par ==> contradicao

Logo, p(x) nao admite raizes em Q(i).

Acho que eh isso.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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