Re: [obm-l] Equação, somatória e triângulo isósceles

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

J. Renan wrote:
> 2- Seja a definição [x] a parte inteira do nº real x, use-a para 
> encontrar uma fórmula para somatória de i = 1 até i = (n²-1) de 
> [(i^1/2)] em função de n.
> (Resposta: n*(n-1)*(4n+1)/6

Inicialmente notamos [i^1/2]=a, sempre que a^2<= i <=(a+1)^2-1.

Isso significa que o termo "a" aparece na somatória x vezes,
onde x = [(a+1)^2-1]-[a^2]+1 = a^2+2a+1-1-a^2+1= 2a+1

Logo a somatória pode ser reescrita como:

sum(a=1,n-1) (a*(2a+1))

Isso pode ser aberto como:

sum(a=1,n-1) (2a^2) + sum(a=1,n-1) (a)

Lembro que:
sum(a=1,n)(a^2)=n(n+1)(2n+1)/6
sum(a=1,n)(a)=n(n+1)/2

E então basta substituir:

sum(a=1,n-1) (2a^2) + sum(a=1,n-1) (a)=
2(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)/6 + (n-1)(n-1+1)/2=
2(n-1)(n)(2n-1)/6 + 3(n-1)(n)/6=
n(n-1)(4n-2+3)/6=
n(n-1)(4n+1)/6

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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