Re: [obm-l] teoria numeros

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Ver também as páginas 50--51 de

http://www.escolademestres.com/qedtexte/sol2.pdf

[]'s
Luís

>From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] teoria numeros
>Date: Mon, 27 Mar 2006 06:29:11 -0800 (PST)
>
>Oi Eduardo,
>
>Acho que o Klaus não quis dizer a soma das potências;
>veja os exemplos que ele deu: '2^1' + '5^1' = 25 e '
>2^2 ' +' 5^2 ' = 425. O '+' dele deve ser de
>concatenar strings (que podem ser notadas usando as
>aspas simples - ' '), que é uma notação utilizada em
>algumas linguagens de programação. Observe que 2^1 = 2
>e 5^1 = 5, e concatenando obtemos 25; e concatenando
>2^2 = 4 e 5^2 = 25, obtemos 425.
>
>E além disso, é fácil ver que 2^n + 5^n (agora, a soma
>mesmo) tem no máximo a mesma quantidade de dígitos que
>5^n mais 1, pois 2^n + 5^n < 2 * 5^n. Mas, como 5^4 <
>10^3, então 5^4k < 10^3k, ou seja, 5^4k tem uma
>quantidade de dígitos menor ou igual a 3k. Logo, por
>exemplo, 2^4k + 5^4k tem uma quantidade de dígitos
>menor ou igual a 3k, e nunca vai ser 4k+1.
>
>De fato, a quantidade de dígitos da soma, na maioria
>dos casos, não é igual à soma das quantidades dos
>dígitos das parcelas; de fato, em um certo senso, é
>muito menor. Na verdade, a quantidade de dígitos do
>produto é *aproximadamente* igual à soma das
>quantidades dos dígitos dos fatores (com uma diferença
>de no máximo 2, acho). Para números pequenos, a
>diferença é relativamente grande, mas por exemplo, sem
>fazer a conta dá para ver que 100029458853 *
>584384762342 tem 23 ou 24 algarismos.
>
>Isto é, não é verdade que 2^n + 5^n tem n+1 algarismos
>para todo n inteiro positivo. De fato, tem
>aproximadamente n*log 5 algarismos; como log 5 < 1,
>tem menos algarismos.
>
>[]'s
>Shine
>
>--- Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> wrote:
>
> >     Calma, Carlos.
> >
> >      Tá bom mas falta algumas coisinhas, tipo:  o
> > número de dígitos de uma soma nem sempre é  a soma
> > do número de dígitos das parcelas...
> >
> >
> >
> > Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> escreveu: Na
> > verdade, mais Álgebra...
> >
> > Queremos provar que a quantidade de dígitos de 2^n
> > somada com a quantidade de dígitos de 5^n é n+1.
> >
> > Sendo k a quantidade de dígitos de 2^n e l a
> > quantidade de dígitos de 5^n, temos 10^{k-1} < 2^n <
> > 10^k e 10^{l-1} < 5^n < 10^l. Multiplicando as
> > desigualdades membro a membro, obtemo 10^{k-1+l-1} <
> > 2^n*5^n < 10^{k+l}, ou seja, 10^{k+l-2} < 10^n <
> > 10^{k+l}. Deste modo, n = k+l-1, que é o mesmo que
> > k+l
> > = n+1.
> >
> > []'s
> > Shine
> >
> > --- Klaus Ferraz  wrote:
> >
> > > Prove que ' 2^n '+' 5^n ' sempre tem n+1 digitos.
> > > Por exemplo '2^1' + '5^1' = 25
> > >   ' 2^2 ' +' 5^2 ' = 425.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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