Re: [obm-l] limite

[gugu@xxxxxxx]

   Dá para mostrar que, por exemplo, a_n<500 e b_n<400 para todo n, por indução:
claramente isso vale para n=1, e, se vale para n, temos
a_(n+1) = 300 + 0,3 b_n < 300+0,3.400 < 500, e
b_(n+1) = 200 + 0,3 a_(n+1) < 200+0,3.500 < 400.
   Abraços,
             Gugu


Citando Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br>:

> Olá,
> b_n = 290 + 0,09 b_(n-1)
>
> mas b1 = 290.. logo:
>
> b_n = b1 + 0,09 b_(n-1)
>
> Abrindo para n = 2, n = 3, vc vai ver a seguinte lei de formacao:
>
> b_n = Sum(i=0 ... n-1, (0,09)^i) b1
>
> Essa somatorio, eh um somatorio de PG e vale: [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81
> Assim: b_n = [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 * b1
>
> Para confirmar, por inducao:
> n=1 => b1 = 0,81 / 0,81 * b1 = b1 .. ok!
> Suponhamos verdadeiro para n, e vamos mostrar que vale para n+1..
>
> b_(n+1) = b1 + 0,09 b_n = b1 + 0,09 [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 * b1 = [ 0,81 +
> 0,09 - (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1 = [ 1 - (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1
>
> Ok.. demonstrado!
>
> lim b_n = b1 / 0,81
> que é o resultado que ja tinhamos obtido anteriormente...
> tentei mostrar que b_n converge por outros metodos (sem obter o termo geral)
> ... consegui provar que ele é crescente..
> mas nao consegui provar que é limitado! =/
> se alguem souber um modo mais simples de provar, mandai!
>
> abraços,
> Salhab
>
>   ----- Original Message -----
>   From: Klaus Ferraz
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   Sent: Friday, February 10, 2006 7:32 PM
>   Subject: Re: [obm-l] limite
>
>
>   Ola Marcelo,
>    legal a solucao. Mas como provo q as series bn e an convergem?
>
>   Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> escreveu:
>     a1 = 300
>     b1 = 200 + 0,3 a1
>
>     a2 = 300 + 0,3 b1
>     b2 = 200 + 0,3 a2
>
>     a_n = 300 + 0,3 b_(n-1)
>     b_n = 200 + 0,3 a_n
>
>     substituindo a_n em b_n, temos:
>     b_n = 2! 00 + 0,3 [ 300 + 0,3 b_(n-1) ]
>     b_n = 200 + 90 + 0,09 b_(n-1)
>     b_n = 290 + 0,09 b_(n-1)
>
>     Supondo que b_n converge, temos que lim b_n = lim b_(n-1).. assim:
>     lim b_n = 290 + 0,09 lim b_n
>     lim b_n = 290 / [1 - 0,09] = 290 / 0,91 = 318,68 = 318 alunos
>
>     lim a_n = 300 + 0,3 lim b_n = 300 + 0,3 * 318,68 = 395,60 = 395 alunos
>
>     faltou provar que as series convergem.. mas nao eh dificil.. olhe:
>     se provarmos que b_n converge, então, necessariamente, a_n converge...
>     fica co! mo exercicio provar que b_n converge..
>
>     abraços,
>     Salhab
>       ----- Original Message -----
>       From: Klaus Ferraz
>       To: obm-l@mat.puc-rio.br
>       Sent: Thursday, February 09, 2006 8:55 PM
>       Subject: [obm-l] limite
>
>
>       Uma faculdade recebe todos os anos 300 alunos novos no primeiro
> semestre e 200 alunos novos no segundo semestre. 30% dos alunos sao
> reprovados no primeiro periodo e repetem o periodo no semestre seguinte.
> Sendo an e bn respectivamente os numeros de alunos do primeiro periodo no
> primeiro e segundo semestres do ano n, calcule lim(n-->infinito) an e lim
> (n-->infinito)bn.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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