Re: [obm-l] Limite de Seq��ncia

[Bruno Fran�a dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Isso a� � um processo iterativo para calcular uma aproxima��o para a raiz quadrada de um n�mero.
Vou mostrar a validade de um mais gen�rico, que calcula a raiz p-esima de um n�mero.

Seja p natural maior do que ou igual a 2, e a um real positivo. Defina
a sequencia xn recursivamente por xn+1 = 1/p [ (p-1)*xn +
a/(xn^(p-1))], tomando x0 um real positivo arbitrario. Mostre que xn
--> a^(1/p), quando n --> oo.

Seja phi(x) = 1/p [ (p-1)*x + a/(x^(p-1))]. Devemos inicialmente verificar que a^(1/p) e ponto fixo de phi. Temos:
phi(a^(1/p)) = 1/p [ (p-1)*a^(1/p) + a*(a^1/p)/a ] = 1/p * [a^(1/p) * (p-1 + 1)] = a^(1/p)
Ent�o a^(1/p) � ponto fixo de phi.
Temos que phi'(x) = (p-1)/p * (1 - a/x^p)
Ent�o phi'(a^(1/p)) = 0, e lim_{x->oo} phi'(x) = (p-1)/p < 1.
Concluimos ent�o que abs(phi'(x)) < (p-1)/p, se x >=a^(1/p).
Se 0 <= x < a^(1/p), phi(x) > a^(1/p) como se pode verificar.
Ent�o para qualquer x0 >= 0, phi^n(x0) estar� no intervalo [a^(1/p),
oo), n>=1. Ent�o sempre estaremos, no segundo iterado em diante, num
intervalo que a derivada da phi � menor que 1 em m�dulo.
Logo, haver� a converg�ncia para o ponto fixo de phi.

Tomando p = 2, e n�o importa o x0, que no caso vc escolheu como sendo a/2, haver� a converg�ncia para sqrt(a).

Abra�o,
Bruno

On 1/21/06, Henrique Renn� <henrique.renno@gmail.com> wrote:

Ol�!!!

Recentemente enviei em anexo uma prova de matem�tica do exame POSCOMP
(pdf - 70 KB) para tirar uma d�vida a respeito de um exerc�cio mas
parece que a lista da OBM n�o aceita pois o e-mail retornou dizendo
que n�o foi poss�vel ser entregue. Dessa forma, estou enviando o
enunciado nesta mensagem e gostaria de saber como resolver o exerc�cio
n� 6 ou como eu poderia pesquisar sobre o assunto para resolv�-lo.

Problema:

A seq��ncia xn � definida recursivamente por

x0 = a/2
xn+1 = (xn + a/xn)/2 para n >= 0

onde a � um n�mero real maior do que 1.
Se lim xn com n --> inf = L podemos afirmar que

(a) L = 1
(b) L = 1/a
(c) L = a
(d) L = 1/2a
(e) L = raiz_quadrada(a)

Abra�os!!!

--
Henrique

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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-- 
Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0