[obm-l] UM PROBLEMA ARDILOSO!

["Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis" <jorgelrs1986@xxxxxxxxxxx>]

Ok! Marcelo, Eduardo e demais colegas! Sem dúvida, este é um dos problemas 
geométricos mais pegajoso que conheço. Vejam na íntegra a solução de um 
eminente matemático...

Seja SABC a pirâmide com as hipóteses do problema, sendo S o topo e ABC a 
base. Se traçarmos as alturas BD1 e CD2 respectivamente dos triângulos ASB e 
ASC relativos ao lado AS temos que D1=D2=D e o ângulo BDC é igual a 90° 
(ângulo entre as faces laterais). Seja SP a altura do triângulo ASB relativo 
ao lado AB (apótema da pirâmide) e DH a altura do triângulo isósceles BDC. 
Observamos que DH é também bissetriz do ângulo BDC. Temos que AB=2AP. 
Considerando o triângulo SAP, verifica-se que AP=AS cos DAP. Então temos que 
AB=2*2 cos DAP. Considerando agora o triângulo BAD concluimos que sen 
DAP=BD/AB ou DAP=arc sen BD/AB. Finalmente considerando o triângulo BDH 
obtemos sen BDH=sen45°=BH/BD e então BD=BH/sen45°=AB/2sen45°, pois AB=2BH. 
Destas considerações concluimos que AB=4cosDAP=4cos(arc senBD/AB)=4cos(arc 
sen 1/2sen45°)=4cos (arc sen 1/2^(1/2))=4 cos (arc sen 2^(1/2)/2)=4 
cos45°=4*2^(1/2)/2=2*2^(1/2). Então o comprimento do lado da base é 
2*2^(1/2)cm. Bom, agora é só montar o quebra-cabeça (figura).

E para deleite dos colegas, vejam outro problema igualmente espinhoso...

Dados o ponto P e duas circunferências, traçar por P uma reta eqüidistante 
das duas circunferências e que as deixa em semi-planos opostos. Quais são as 
posições relativas do ponto e das circunferências para que o problema tenha 
solução? A solução, quando existe, é única? Se deixarmos de lado a condição: 
"que as deixa em semiplanos opostos", o problema terá novas soluções? 
Quantas? Sempre?


Abraços!

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