A série Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) eh alternada e seus termos
decrescem em valor absoluto para 0, de modo que a serie eh convergente.
Usando o Maple, me iformaram que seun limite eh 1 - Sqrt(2)) zeta(1/2).
Como podemos provar este fato, que fornece o limite envolvendo a funcao zeta de Riemann?
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Bom , vamos la ,
Sabemos que a funcao zeta de riemann eh ,
R(z) = 1 + [1/(2^z )] + [1/(3^z )] +[1/(4^z )] + ... , para todo z da forma a +bi.
Vamos ao problema ,
Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ...
Mas repare que podemos somar e subtrair termos iguais que nao afetara a serie ,
Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =
1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... =
1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)] + ... , assim fazemos para todos os termos que possuem nos denominadores raizes de numeros pares.
Organizando ,
Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =
1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... =
1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)]+ ... =
{1 +[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...} - 2{[(1)/sqrt(2)]+[(1)/sqrt(4)]+[(1)/sqrt(6)]+ ... }
A primeira parte eh a funcao zeta de riemann para z = 1/2, entao ,
Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =
R(1/2) - 2{[(1)/sqrt(2)]*[1+[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...]}
Novamente a funcao R(1/2) aparece ,desta vez na segunda parte,
Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =
R(1/2) - [(2)/sqrt(2)]*R(1/2) =
R(1/2)*{1 - [(2)/sqrt(2)]}
Abracos,
Luiz H. Barbosa