Mesmo
que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo?
Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do conjunto
Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto eh
impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os
irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados,
certo?
Artur
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno Fran�a dos
Reis
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005
12:47
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Fun��o cont�nua de
irracionais em racionais e vice versa
Ol�
Um amigo me prop�s uma quest�o: construa uma fun��o f
definida em algum intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma
que:
(i) f leva um irracional a um racional
(ii) leva um racional a um
irracional
(iii) seja cont�nua em todos os pontos
� f�cil
construir uma que atenda �s condi��es (i) e (ii). � f�cil tamb�m construir uma
que atenda �s condi��es (i) e (ii) e que seja racional em uma quantidade
finita (ou enumer�vel) de pontos.
Agora n�o sab�amos construir uma que
fosse cont�nua em todos. Eu acho que provei que n�o � poss�vel. Seria poss�vel
algu�m verificar a prova?
Tome a e b no intervalo em que f est�
definida, de forma que a seja um racional e b seja irracional. Considere o
intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que est�
contido na imagem de f (pois f � cont�nua). Ent�o temos que todos os
irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto �: [f(a),f(b)] inter (R -
Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restri��o de
f aos racionais do intervalo [a,b], com contradom�nio igual ao conjunto de
todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores
que f. Essa fun��o g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma
vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que � exatamente seu
contradom�nio). Ent�o queremos construir uma fun��o sobrejetora de um conjunto
enumer�vel em um conjunto n�o-enumer�vel, o que n�o � poss�vel (h� "mais"
irracionais que racionais, logo n�o h� valores suficientes no dom�nio de g
para que possamos atingir todos os valores do contradom�nio). Ent�o f tamb�m
n�o pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a
partir dos racionais entre a e b. Logo n�o existe tal fun��o f.
T�
certo issi a�?
Abra�o
Bruno
--
Bruno Fran�a dos
Reis
email: bfreis - gmail.com
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