RES: [obm-l] Teoria da Medida

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Nos problemas (a) e (b) acho que vc quis dizer Sigma(g). Certo?  Assumindo
isto:

(a) - Como g eh mensuravel e definida em [0,1], para cada aberto V de R, B =
g(-1)(V) estah em Borel([0,1]). Se x estah em B,  entao g(x) = g(1-x) estah
em V, de modo que 1 - x estah em  B. Sendo A = B inter[0, 1/2], entao 1 -A =
B inter [1/2, 1] e B = A Uniao (1-A).  Como B eh Borel, segue-se que A e 1-A
tambem o sao e que A pertence a Borel([0,1/2]). Logo, toda sigma-algebra que
contenha Sigma-(g) contem a colecao dos conjuntos da forma A Uniao (1-A).
Para mostrarmos que Sigma_(g) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO (1-A), A
pertence ao Borel_([0,1/2]), e necessario e suficiente mostrarmos que a
colecao C = { B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO (1-A), A pertence ao
Borel_([0,1/2]) eh uma sigma-algebra em [0,1].  Eh imediato que [0,1] e o
vazio estao em C. Se B =A Uniao (1-A) estah em C e B' eh seu complementar,
entao, entao B' = A' inter (1-A)'. Com A e 1-A estao am Borel([0,1]), as
propriedades da sigma-algebra implicam que os respectivos complementares
tambem estejam e que, portanto, tambem estejam as respectivas interseccoes.
Se x pertence a B', entao 1-x tem que pertencer a B', pois do contrario 1-x
estaria em B e, portanto, x, contrarariamente aa hipotes, estaria em B.
Logo, B' eh da forma dos conjuntos de C, estando assim em tal colecao.
Sejam agora B_n = A_n Uniao (1-A_n) uma sequencia qualquer de conjuntos de C
e B = Uniao B_n. Entao B = (Uniao (A_n)) Uniao (Uniao 1 - A_n). Se x
pertence a B entao x pertence a algum  A_n ou a algum 1 - A_n. Logo, 1-x
pertence a 1- A_n ou a A_n, de modo que 1-x pertence a B. Assib, B eh da
forma A Uniao (1-A), estando portanto na colecao C.
Disto concluimos que C eh uma sigma-algebra, completando a prova. Acho que
eh isso.

Depois tentamos os outros  
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Cleiton Silva
Enviada em: sexta-feira, 9 de setembro de 2005 08:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Teoria da Medida


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Notação: 
1) Borel_([a,b]) é a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a métrica é a usual: |.|);

2) Borel_(R) é a menor sigma-algebra que contém todos
os abertos da reta.

3) f:R -> R uma função Borel mensurável: Sigma_(f) é a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com relação a
qual f é mensurável.

4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
_________________________________________________________

Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensurável qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:

a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };

b) Seja h:[0,1]->R mensurável com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h é tal que Sigma_(h) está contido em
Sigma_(f)). Mostre que h é tal que h(w)=h(1-w);

c) Existe alguma h Sigma_(f) mensurável tal que
Sigma_(h) é subconjunto PRÓPRIO de Sigma_(f)? Se sim,
dê um exemplo; se não, justifique.

[]'s


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