[obm-l] Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

["lgita-2002" <lgita-2002@xxxxxxxxxx>]

Muito obrigado.

Eu estava acreditando na veracidade da afirmação e nem cheguei a tentar construir um contra-exemplo.

Ainda não consegui construir exemplos de suconjuntos compactos (nem densos) no C([0,1]) com a métrica do sup. Nenhuma das referencias que consultei constumam dar exemplos. 

Talvez exemplos destes conjuntos sejam complicados (como exemplos de conjuntos que são Lebesgue mensuráveis mas nao Borel mensuráveis, ou de conjuntos que não são Lebesgue mensuraveis)... Tentei uma busca no google e no scholar.google mas também não tive sucesso.

Continuarei tentando. Se alguém conhecer algum livro de análise funcional com bastante exemplos,por favor, me informem.

[]'s

---------- Início da mensagem original -----------

      De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
    Para: obm-l@mat.puc-rio.br
      Cc: 
    Data: Thu, 1 Sep 2005 10:55:09 -0300
 Assunto: Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

> On Wed, Aug 31, 2005 at 06:01:56PM -0300, lgita-2002 wrote:
> > 
> > Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
> > VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
> > 
> > C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
> > 
> > d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
> > 
> > onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.
> 
> É falso. Considere a função f(x) = |2x-1|.
> Afirmo que d(f,g) >= 2 para toda g em C^1. De fato,
> d(f,g) >=
> max ( lim_{x -> 1/2 esq} |f'(x) - g'(x)|, lim_{x -> 1/2 dir} |f'(x) - g'(x)| )
>  = max ( |-2-g'(1/2)|, |2-g'(1/2)| ) >= 2.
> 
> []s, N.
> > 
> > 
> > Sou grato por qualquer ajuda.
> > 
> > ____________________________________________________
> > Notação:
> > 1) C^{1}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) contínuas que
> > possuem derivada derivada primeira contínua.
> > 
> > 2) C_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que tem um número FINITO de descontinuidades do "tipo salto": são contínuas pela DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO pela esquerda.
> > Exemplo: f(x) é igual a 1 se x<0 e igual 2 se x>=0;
> > 
> > 3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
> > 
> > 4) C^{1}_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que são contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada pertence a C_{S}([0,1]) )
> > 
> > Exemplo:  |x| pertence a C^{1}_{S}.
> > ______________________________________________________
> > 
> > 
> > 
> > []'s
> > Gustavo
> > 
> > 
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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