Re: [obm-l] Medida

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

De modo geral, o termo sigma significa que uma
propriedade eh atendida para a uniao de uma colecao
enumeravel de conjuntos. A medida dos conjuntos em uma
sigma-algebra eh sigma aditiva no sentido de que, se
{A_n} eh uma colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e disjuntos 2 a 2 e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n>=1) u(A_n), onde u
denomina a medida.

Artur

--- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:

> Artur, nao compreendi o caso em q B=Rm, pois nao
> faco
> ideia do q seja a tal sigma aditividade. O caso em q
> B
> eh limitado eu entendi. Estou comecando a estudar os
> conjuntos de medida nula agora e, portanto, soh
> conheco a definicao. 
> 
> Tertuliano
> 
> 
> --- Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com>
> escreveu:
> 
> > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > paralelepipedo limitado e aberto de R^m de
> > hipervolume
> > V. Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos
> > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > paralelepipedos abertos e limitados, cada um com
> > hipervolume V_k, tal que Soma(k>1)V_k < eps/V.
> Temos
> > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de
> A
> > X
> > P por paralelepipedos abertos de R^(m+n). O
> > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k *
> V
> > =
> > V *  Soma(k>=1)V_k < V * eps/V = eps. Como eps eh
> > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula.
> > 
> > Considerando-se que subconjuntos mensuraveis de
> > conjuntos nulos sao tambem nulos, a conclusao
> > anterior
> > pode ser extendida para o caso em que B eh um
> > conjunto
> > limitado, pois neste caso B esta contido em um
> > paralelepipedo aberto e limitado.
> > 
> > O conjunto R^m pode ser dado pela uniao de uma
> > colecao
> > enumeravel e disjunta {Q_k} de paralelepipedos
> > limitados de hipervolume 1. Entao, {A X Q^_k} eh
> uma
> > cobertura disjunta de A X R^m. Como A tem medida
> > nula
> > e cada Q_k eh limitado, a conclusao anterior nos
> > mostra que cada A X Q_k tem medida nula.
> > Invocando-se
> > agora a sigma-aditividade da medida, concluimos
> que
> > A
> > X R^m tem medida nula. E valendo esta conclusao
> para
> > o
> > caso B = R^m, segue-se que vale automaticamente
> para
> > qualque subconjunto B de R^m.
> > 
> > Estah certo?
> > 
> > Artur 
> > 
> > 
> > --- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> > 
> > > Oi para todos!
> > > Alguem pode me ajudar neste?
> > > 
> > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em
> Rm
> > um
> > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > > 
> > > Grato,
> > > Tertuliano
> > > 
> > >
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