RE: [obm-l] Caso de divisibilidade

["Maurício" <briqueabraque@xxxxxxxxx>]

  Interessante! Dei uma olhada no livro que estou
estudando e ele menciona essa fórmula, inclusive para
mostrar que p!/(p-k)! é divisivel por k!, sem usar
indução. Entretanto, esse exercício está proposto dois
capítulos antes, em um capítulo sobre coisas
elementares a respeito de congruência (a=b(mod c)
etc.).
  A propósito, o livro que estou lendo é do José
Plínio de Oliveira Santos, publicado pelo Impa. Vocês
tem recomendações de outros livros interessantes para
aprender teoria dos números?

  Abraços,
  Maurício

> Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero,
> conhecida fórmula para o expoente de p em n!, igual
> a [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
> 
> O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <= k
> <= p^m - 1) é:
> [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] +
> [p^m/p^m] =
> p^(m-1) + p^(m-2) + ... + p + 1.
> 
> O expoente de p no denominador de Binom(p^m,k) é a
> soma de:
> [k/p] + [k/p^2] + [k/p^3] + ....
> e
> [(p^m-k)/p] + [(p^m-k)/p^2] + [(p^m-k)/p^3] + ...
> 
> Mas:
> [k/p^j] + [(p^m - k)/p^j] <= [(k + (p^m-k))/p^j] =
> [p^m/p^j] = p^(m-j).
> 
> Além disso, para k = 1, teremos:
> [1/p^j] + [(p^m - 1)/p^j] = p^(m-j) - 1 < p^(m-j) =
> [p^m/p^j]
> 
> A partir dessas duas desigualdades é fácil concluir
> que o expoente de p no numerador é estritamente
> maior do que o expoente de p no denominador, de modo
> que p divide Binom(p^m,k).
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> > Oi, Maurício,
> > é possível resolver essa como aplicação imediata
> do teorema de lucas, que
> > é o seguinte:
> >
> > Se m = a_k*p^k + a_(k-1)*p^(k-1) + ... + a_1*p +
> a_0 e n = b_k*p^k + ...
> > + b_0 (representação na base p), denotando B(m,n)
> a combinação de m elementos
> > tomados n a n, vale
> >
> > B(m,n) == B(a_0,b_0)*B(a_1,b_1)*...*B(a_k,b_k)(mod
> p),
> >
> > onde B(x,y) = 0 se y > x.
> >
> > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais
> elementar deste fato...
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> > '>' Oi, pessoal,
> > '>'
> > '>' Estou em cima desse exercício de teoria dos
> números
> > '>'faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem
> alguma
> > '>'dica?
> > '>'
> > '>' Mostrar que o número de combinações de p^a (p
> > '>'elevado a a) elementos tomados k a k é
> divisivel por
> > '>'p, supondo p^a>k (acho que também é necessário
> que
> > '>'a>1). Formulei isso assim:
> > '>'
> > '>' p^a!/(k!(p^a-k)!) = 0 (mod p)
> > '>'
> > '>'
> > '>' Abraços,
> > '>' Maurício
> > '>'
> > '>'
> > '>'


		
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