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Provavelmente n�o existe uma prova elementar da
irracionalidade de pi.
Se voc� pesquisar um pouco vai ver que
pi pode ser escrito de v�rias maneiras:
Como uma s�rie infinita
(infinitas somas), como um processo iterativo de radicia��o (infinitos
radicais),
como uma fra��o
cont�nua (infinitos denominadores), de forma que voc� deve come�ar
com a rela��o
de recorr�ncia (escolhida inicialmente a
dedo) e a partir das propriedades da rela��o
de recorr�ncia provar que o n�mero que elas definem n�o pode ser racional (isso � s� uma id�ia -
nunca tentei fazer isso na pr�tica).
Por exemplo:
Pegue um pol�gono regular de n lados
inscrito em uma circunfer�ncia unit�ria e
ache uma f�rmula para o pol�gono de 2n lados em fun��o do pol�gono
de
n lados. Come�e com um quadrado, que vira
oct�gono, que vira 16 lados, etc..
Fa�a n tender ao
infinito e divida esse resultado por 2. Voc� tem
pi.
Mais ainda, voc� tem
uma f�rmula para pol�gono de 2n lados em fun��o de pol�gonos de n
lados.
A sugest�o � usar essa
rela��o para provar a irracionalidade de pi. Mas, como todo n�mero
transcendente
� irracional, ent�o como
pi � transcendente (Lioville) ent�o pi deve ser irracional.
A prova de
Lioville todavia � dif�cil de entender.
Espero ter ajudado
em algo.
[]s
----- Original Message -----
Sent: Sunday, June 19, 2005 2:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l]
irracionalidade do pi
pi irracional e poder ser escrito como raz�o do comprimento e diametro da
circunfer�ncia significa que comprimento e diametro n�o s�o inteiros
simultaneamente........acho que pode-se comparar com a quest�o dos lados e
diagonal do quadrado......n�o � poss�vel lados e diagonal
inteiros. Carlos Gomes <cgmat@digizap.com.br>
escreveu:
N�o
h� nada de estranho, pois o que n�o pode ocorrer � pi=p/q com p e q
inteiros....,mas � claro que pi ou qualquer outro n�meroo real pode ser
escrito como quociente de dois outros n�meros reais
-----
Original Message -----
From:
To:
Sent: Sunday, June 19, 2005 1:12 AM
Subject:
[obm-l] Re: [obm-l] irracionalidade do pi
De fato eu tamb�m acho
estranho definir o pi como a raz�o entre o comprmento
e o diametro da
circunfer�ncia sendo ( o pi irracional )e gostaria de
entender
melhor
isso!
-- Mensagem original --
>Apesar de ser um assunto,
nem tanto, elementar, nossos alunos sempre nos
>fazem perguntas sobre
irracionais. Tipo:
>
>Algu�m conhece algum m�todo elementar de
demonstrar a irracionalidade do
>n�mero pi (para o ensino
m�dio)?
>
>Se pi � irracional, n�o traz um certo desconforto
defin�-lo como a raz�o
>entre o comprimento e o di�metro da
circunfer�ncia? Afinal, quem �
>irracinal,
>pi ou
2.pi.r.?(pergunta inocente).
>
>� poss�vel dar uma aproxima��o
razo�vel para a raiz quadrada de pi?
como?
>
>Obrigado.
>
>Em tempo, algu�m conhece algum
sitio onde encontro exerc�cios e problemas
>com n�meros primos para o
ensino
fundamental?
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