[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Vou por ora colaborar com o primeiro problema: 


1. Seja  y = y(x) uma fanção derivável até a segunda ordem
    no intervalo aberto I tal que para todo x pertencente I

         f '' (x) + x f '(x) - [f(x)]^2 = 0      e f(x) direferente de 0

       *Verifique que f ''  é contínua em I
       *Prove que f não admite pontos de máximos local em I


Para todo x de I, temos que f '' (x) =  [f(x)]^2 - x f '(x) . A
diferenciabilidade de f em I implica a sua continuidade, que, por sua vez,
implica a continuidade de f^2. A existência de f'' em I implica que f' seja
derivavel e, portanto, continua. Logo a funcao x -> x*f'(x) eh continua em
I. Temos, portanto, que, f'' eh dada pela diferenca de duas funcoes
continuas, o que implica que ela propria seja continua em I. 

Se algum u de I for extremo local de f, entao, como I eh aberto e f
derivavel, temos f'(u) = 0. Pela equacao funcional a que f satisfaz, temos
entao que f''(u) = [f(u)]^2. Como f nunca se anula em I, segue-se que f''(u)
>0, o que acarreta que u seja ponto de mínimo local. Logo, f nao admite
máximos locais em I. 

Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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