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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Mon, 16 May 2005 06:54:03 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
> >Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
> >qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
> >Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
> >chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
>
> Oi Cl�udio. Considere a equa��o x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
> Delta = 10 - 4.1.2 = 2
> x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
> Posso dizer que x_1 � transcendente?
 
N�o. (raiz(10)+raiz(2))/2 � raiz de x^4 - 6x^2 + 4.
 
> Ali�s sempre tive essa d�vida.
> Certamente o fato dos coeficientes do polin�mio serem racionais � o
> mesmo que o
> os coeficientes do polin�mio serem inteiros ==> tomamos o m.m.c das
> fra��es
> e multiplicamos. Mas ent�o o que dizer deste caso que citei? O x_1
> parece
> ser mais ou menos "bem comportado".
> N�o � um n�mero como "e" ou n�mero "pi" que s�o "meio estranhos".
> Ali�s, algu�m sabe dizer se pi^e ou e^e s�o transcendentes?
>
N�o estou certo quanto a e^e mas pi^e eu tenho quase certeza de que ningu�m sabe.
 
>
> >Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
> >analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
> >meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
> senos,
> >cossenos, derivadas e integrais.
>
> Cl�udio, uma vez eu tentei resolver a equa��o x^x = 5 (que � uma
> equa��o
> transcendente). Para isso basta notar que ela � equivalente a:
> x ln x = ln 5
> x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se n�o me
> engano: preciso
> ver a expans�o de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
> modo
> a equa��o tem grau infinito e x n�o pode ser alg�brico. Uma id�ia �
> inverter a s�rie
> de pot�ncias para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
> complicad�ssima!!
>
Eu acho que s� d� pra fazer numericamente. Mas a solu��o � �nica, pois a fun��o f: (0,+inf) -> R dada por f(x) = x^x � crescente para x >= 1/e.
 
Talvez seja mais eficiente usar o m�todo de Newton:
Ponha x(1) = 2, por exemplo, e defina x(n+1) = x(n) - f(x_n)/f'(x_n).
f(x) = x^x - 5 e  f'(x) = x^x*(1 + log(x)) ==>
x(n+1) = x(n) - (x(n)^x(n) - 5)/(x(n)^x(n)*(1 + log(x(n))))
Na quinta itera��o eu achei 2,1293724828.
 
 
> Precisa inverter a s�rie de pot�ncias - Vi no livro de Spiegel -
> Advanced Calculus -
> Schaum Outline um problema semelhante: A solu��o era uma s�rie
> de pot�ncias.
>
> Algu�m da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter s�ries
> de pot�ncia?
 
Eu acho que o neg�cio � fazer no bra�o mesmo, ou seja, dada a s�rie SOMA a_k*x^k com a_0 <> 0, a inversa � SOMA b_k*x^k e � tal que:
(b_0 + b_1*x + b_2*x^2 + ... )*(a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... ) = 1
 
Isso resulta no sistema linear infinito:
a_0*b_0 = 1
a_0*b_1 + a_1*b_0 = 0
a_0*b_2 + a_1*b_1 + a_2*b_0 = 0
...
e da� voc� obtendo os b_k por recorr�ncia.
 
> Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele n�o conseguiu
> responder.
> Sei que existe uma f�rmula para produtos de s�ries de
> pot�ncia (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ). Mas
> existe alguma
> f�rmula para invers�o?
> Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escurid�o" :)
>
>
> >O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
> >algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
> >menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
> >complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
> >repetidas).
>
> Entendi. Um polin�mio complexo � um polin�mio em que os coeficientes s�o
> n�meros
> complexos. � isto n�o?
 
Sim.
 
Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
> computador
> anda atrofiando meu c�rebro... Felizmente n�o ando de carro. Sen�o meu
> cora��o estaria
> tamb�m atrofiado ...
>
 
[]s,
Claudio.