Re: [obm-l] Problemas de Algebra

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Claudio,
   Qual e' esse problema 26 da secao 2.5 ?
   Gostei muito do exemplo do Nicolau. Eu pensei em alguns outros depois de
responder a mensagem, por exemplo, um grupo G gerado por a e b com b de ordem
2 e sem outras relacoes. O conjunto H dos elementos cuja representacao
simplificada e' uma palavra formada pelas letras a, a^(-1) e b tal que o
numero de a's nas suas k primeiras letras e' sempre maior ou igual ao numero
de a^(-1)'s, para todo k, e' um subgrupo e aHa^(-1) esta' estritamente
contido em H - senao b=axa^(-1) para algum x em H, mas x tem que ser
a^(-1)ba, que nao esta' em H. Outro exemplo e' G={bijecoes crescentes de R
em R} e H={f(x) em G tal que lim (x->+oo) f(x)/x existe e e' racional 
positivo}. Se a=a(x)=x^3, afa^(-1)(x)=f(x^(1/3))^3, e, se f(x)/x tende a c
racional positivo entao afa^(-1)(x)/x tende a c^3, que tambem e' racional
positivo. Por outro lado, f(x)=2x pertence a H, mas se afa^(-1)(x)=2x entao
f(y)=2^(1/3).y, que nao pertence a H. Eu tentei um pouco achar um exemplo
natural com G={bijecoes de N}, mas so' consegui versoes artificiais de
exemplos anteriores...  
   Abracos,
             Gugu

>
>Maravilha! Muito obrigado.
>
>Com isso, eu fecho as secoes 2.1 a 2.6 do Herstein - Topics in Algebra, com
>excecao do problema 26 da secao 2.5 que nem o proprio autor conseguiu fazer
>(usando apenas o material das secoes 2.1 a 2.5, claro!).
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 13.05.05 09:35, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
>
>> On Fri, May 13, 2005 at 12:19:12AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo
>> Moreira wrote:
>>>> 8) De um exemplo de um grupo G, um subgrupo H, e um elemento a de G tais que
>>>> aHa^(-1) estah propriamente contido em H.
>>>> 
>>>> Um tal H, se existir, tem que ser necessariamente infinito, alem de
>>>> nao-abeliano. Eu imagino que deva haver algum grupo de matrizes com esta
>>>> propriedade, mas nao consegui pensar em nenhum.
>>> 
>>> Esse eu achei mais dificil: acho que podemos tomar um grupo gerado por
>>> elementos a e x(n), com n inteiro, que so satisfazem as relações
>>> a.x(n).a^(-1)=x(n+1), e H gerado pelos x(n) com n natural (aHa^(-1) vai ser
>>> gerado pelos x(n+1) com n natural). Talvez haja exemplos mais simples e
>>> naturais...  
>> 
>> O exemplo do Gugu é perfeitamente correto. Aqui vai outro,
>> talvez mais simples ou mais natural, ou talvez não.
>> Tem a vantagem de ser um grupo de matrizes bem conhecido,
>> como o Claudio imaginou.
>> 
>> Tome G = SL(2,R), o grupo das matrizes reais 2x2 com determinante igual a 1;
>> H é cíclico infinito com elementos [[1,n],[0,1]], n inteiro;
>> a é a matriz diagonal [[2,0],[0,1/2]];
>> fazendo a conta temos a[[1,n],[0,1]]a^(-1) = [[1,4n],[0,1]]
>> donde aHa^(-1) é um subgrupo próprio (de índice 4) de H.
>> 
>> []s, N.
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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