[obm-l] Re: [obm-l] Podem me ajudar com n�meros complexos?

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

oi Sonia,
Bem-vinda a lista. Pelo que voce colocou, e principalmente
da forma que voce colocou, parece que voce entende mais de numeros
do que eu. De qualquer forma, vou colocar a minha opiniao de
tudo isto. Nao sei se vai ajudar. Se nao entender ou se cansar
antes de chegar ao fim, use a opcao "delete esta mensagem".

Voce colocou a "historia" dos numeros. Surgindo dos inteiros,
acrescentando-se os negativos,
indo para os racionais, enpandindo-se para os reais
(incorporando-se os irracionais) e finalmente expandido-se
para os complexos. Na sua historia, voce usa o termo "criar" para
incorporar uma nova classe de numeros. "Criaram-se os racionais...
Criaram-se os irracionais ... criaram-se os complexos" etc.
A historia esta' otima, esta' muito bem contada, mas eu acho
melhor voce trocar o "criar" por "passaram a considerar tambem",
pois "criar" um tipo de numero fica meio forte demais.
Eu diria o seguinte: os numeros j� existiam, o fato de n�s
(ou nossos antepassados) nao terem algum sentido f�sico para eles
nao sginifica que eles nao existiam.

O fato da America nao ter sido descoberta ainda h� mil anos significa
que ela j� nao existia, ou que ela foi criada por Colombo.
Assim, quando os antigos mediam areas e para isto usavam apenas numeros
positivos, isto nao signfica que os numeros negativos j� nao
existiam. Eles (negativos) sempre existiram, apenas nao
tinhamos interpretacao fisica/pratica. Hoje em dia, olhamos
no nosso saldo bancario no fim do mes e l� estao os numeros
negativos e todos (e nao so' os matematicos) lidam com eles de
forma bem natural. E so' por causa disto n�s atualmente dizemos
que os numeros negativos "existem".

Ou seja, a coisa passa a ser uma questao de linguagem e nao
de matematica. Atualmente (sempre foi assim) a gente
diz que o numero existe se nos temos uma interpretacao fisica
para ele:
-> numero negativo existe pois se te devo uma uva, eu escrevo -1
-> numero fracionario existe pois se divido uma pizza por tres
pessoas, cada uma recebe 1/3
-> numero irracional existe, pois a diagonal de um quadrado de lado
unit�rio tem comprimento (a diagonal) raiz(2)

� desse jeito que uma pessoa tradicionalmente pensa.
E por isto diz-se que os numeros complexos nao existem:
"como nao temos nenhuma explicacao pratica para eles
entao eles nao existem". 

Porem, um(a) matematico(a) nao precisa desta ideia de
"existir" para poder trabalhar com o numero, para poder
manipular o numero, para poder fazer coisas com o numero
que so' Deus imagina! Assim, para o matematico, se o conceito
esta' bem definido (matematicamente falando e nao necessariamente
para uma pessoa comum), pode-se "usar" a vontade.
E o numero complexo, seguindo uma serie de propriedades e operacoes
esta' muito bem definido. De fato, voce cita a engenharia eletrica.
Eu acho que esta � a �rea que mais usa os n�meros complexos
na pr�tica. Usa tanto que deu um outro nome para a "raiz(-1) = j"

Hoje em dia olhamos aqueles povos antigos que nao sabiam
lidar com numeros negativos, ou fracionarios, ou irracionais e
sentimos pena deles, pensando baixinho: "pobres ignorantes,
nao entendiam de numeros direito!" Dentro de 2000 anos,
outros estarao pensando a mesma coisa da gente so' porque
nao conseguimos "explicar" direito o que � numero complexo.
Enquanto isto nao ocorre, os matematicos j� perceberam
que d� para usar mesmo sem ter um sentido f�sico/pratico deles!

E e' isto que os matematicos fazem. Podemos chamar disto de abstracao
ou imaginacao. E a matematica evoluiu (e continua
cada vez mais evoluindo) neste sentido.
Mantenha o interesse que daqui a pouco voce estara'
trabalhando com numeros complexos sem ter nenhum preconceito
contra eles.

Abraco,
sergio

On Mon, 25 Apr 2005, sonia wrote:

> 
> Oi! Acabei de entrar na lista. Sou uma menina de 14 anos que, por incr�vel que pare�a, adora matem�tica (apesar de eu ser perfeitamente normal, viu?)  N�o sei se algu�m da minha idade pode ficar nessa lista, me disseram que o Prof. Nicolau poderia me expulsar por eu ser ainda adolescente, ou que outros participantes poderiam reclamar. Me citaram o caso do Prof Carlos Augusto Tamn e de um cara que sabe muita matem�tica, o Cl�udio Buffara. Se houver problemas, pe�o desculpas e saio, n�o quero ser �aborrecente�. Mas achei melhor dizer mesmo minha idade verdadeira.
> 
> Mas, seno um pouquinho aborrecente, eu gostaria que alguem me explicasse o que � o conjunto dos complexos e o que o � de fato a misteriosa raiz(-1). Vou tentar colocar minha d�vida: inicialmente t�nhamos o conjunto dos naturais N = {1,2,3......} (meu prof. convenciona que 0 n�o � natural), que parece que � considerado primitivo, inerente ao ser humano. Bom, n�o dava pra subtrair neste conjunto, n�o podemos calcular, por exemplo 3 � 5. A� os matem�ticos da �poca expandiram para o conjunto Z dos inteiros, resolvendo este problema. Mas ainda n�o ficou legal, pois em Z n�o da pra dividir sempre, mesmo quando o denominador n�o � nulo, n�o se pode, por exemplo, calcular 3/5 em Z.  Criaram ent�o os racionais Q, resolvendo este problema. Mas ainda n�o atendeu plenamente, pois nem sempre podemos calcular ra�zes, como raiz(2) ou raiz(3), certo? Este problema foi resolvido completando a reta e criando os irracionais, n�o foi isto? (Eu nunca consegui entender este processo de cria��o do!
> s irracionais, uma vez li alguma coisa sobre cortes de Dedekind mas confesso que n�o entendi quase nada, me confundi toda) 
> 
> Bom, a� verificaram que os reais ainda n�o resolviam, pois n�o pod�amos calcular ra�zes pares de n�meros negativos, como a misteriosa raiz(-1). A� � que me confundo. Definiram ent�o i = raiz(-1), simplesmente deram um nome i de imagin�rio a raiz(-1). E criou-se um conjunto, o dos complexos, atribuindo-se a ele aquelas mesmas regras dos reais (soma, multiplica���o, propriedades comutativas, associativas e distributivas, coisa que j� estudei e acho que entendi).  Mas a misteriosa raiz(-1) ficou sendo simplesmente i, quer dizer, me parece que desta vez n�o resolveram o problema, apenas deram um nome � raiz(-1). Certamente n�o � isto, mas pra quem olha assim de fora parece um pouco de enrola��o. At� ent�o, os matem�ticos vinham resolvendo os problemas das opera��es nos conjuntos, mas quando chegou nos complexos definiram i = raiz(-1) e expandiram R criando os complexos assumindo a validade das leis que valem nos reais. Ali�s, eu tenho um primo que faz engenharia el�trica e ele m!
> e disse que em eletricidade usa-se j para raiz(-1), pois i � tradicionalmente reservado para corrente el�trica.
> 
> Eu entendo que os complexos s�o algo como o R^2, quer dizer, pares ordenados de n�meros extra�dos dos reais. Consigo entender que est�o sobre um plano, o chamado plano de Argand-Gauss. E que podemos somar, multiplicar, fazer nos complexos o que fazemos nos reais. A misteriosa raiz(-1) n�o seria ent�o o par (1,0)?  To muito confusa, desculpem minha d�vida, mas agrade�o se alguem puder ajudar. Eu folheei um livro em ingl�s sobre complexos, do Rudin, mas nao entendi ABSOLUTAMENTE NADA, nem a introducao...
> 
> Soninha
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