Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Bom dia  Nicolau:
    O que eu pensei foi:
    Pelo teorema fundamental da �lgebra (tese de doutorado
de Gauss) o corpo dos n�meros complexos � fechado.  Logo, a raiz c�bica
de um n�mero complexo tem que ser um n�mero complexo.

      Por�m para cada raiz c�bica de um  n�mero complexo dentro das
 ra�zes c�bicas abaixo  haver�
 6 ra�zes c�bicas (12 se consideramos +-) cuja combina��o duas a duas
dar� 3 ra�zes reais (o Maple deve ter feito isso).

        Mas eu me lembro que o m�todo que eu utilizei foi uma constru��o
geom�trica.   Vou tentar fazer o exerc�cio novamente.
[]s
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Nicolau escreveu:

� f�cil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como
cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos
(z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gr�fico em anexo,
feito pelo maple, ajuda a ver que esta equa��o tem tr�s ra�zes reais:
2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886
e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus
ent�o cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos
para o maple resolver a c�bica, ele d�

          1/2 1/3
(4 + 4 I 3   )              2
----------------- + -----------------
        2                     1/2 1/3
                    (4 + 4 I 3   )

e outras duas ra�zes com express�es mais complicadas.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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