Re: [obm-l] soma de termos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi, Brunno. Eu estava respondendo ontem quando acabou a luz, e a�
acabei perdendo a linha. Acho que agora estar� tudo certo:

Primeiro, como voc� falou, est� errado no local da soma, mas � C(n+1,
1+1), pois esta � a soma do �ltimo.

Agora, vamos para a demonstra��o da lei das colunas (por indu��o,
apesar de o Cl�udio ter falado mal dela!)
Teorema: SOMA {desde m=1at� m=n} C(m, k) = C(n+1, k+1)
Caso Base: n=1 (podia ser n=0)
Temos duas possibilidades: k = 1 e k > 1
Se k = 1, esta igualdade � 1 = C(1, 1) = C(1+1, 1+1) = C(2, 2) = 1, OK!
Se k > 1, � 0 = C(1, k) = C(2, k+1) = 0 pois (k+1) > 2

Agora, s� falta o passo de indu��o:
SOMA {desde m=1at� m=(n+1)} C(m, k) = SOMA {desde m=1at� m=n} C(m, k)
+ C(n+1, k), separando o �ltimo termo da soma,
= C(n+1, k+1) + C(n+1, k) pela hip�tese de indu��o
= C( (n+1) + 1, k + 1), pela f�rmula C(a, b+1) + C(a, b) = C(a+1, b+1)
(Demonstre ela: � s� expandir!)

Eu acho que vale tamb�m para k negativo ou zero, mas isso eu deixo
para voc� pensar (ah, e tamb�m tem o velho problema de definir quanto
vale C(n, -32), mas isso � zero, eu acho) Para k=0, o teorema na
verdade � uma coisa bem "trivial"!

Abra�os,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On Apr 4, 2005 5:01 PM, Brunno <profbrunno@uol.com.br> wrote:
> Unico engano � nessa passagem
> Mas ent�o temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
> C(n, 2)
> deveria ser C(n+1,2+1)
> muito obrigado pela forca
> se puder me ajuda com a demonstracao da soma de colunas
> Um abraco
> Do amigo brunno
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@gmail.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, April 04, 2005 1:38 PM
> Subject: Re: [obm-l] soma de termos
> 
> Isto tem uma resposta muito legal com n�meros binomiais:
> 
> Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) � o
> n�mero de combina��es de a, escolhendo b, que � equivalente a
> a!
> ----
> b! (a-b)!
> 
> Ora, o que voc� quer � somar tudo, de m=1 at� n.
> Mas ent�o temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
> teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1)
> usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora
> � s� expandir.
> 
> Abra�os,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno <profbrunno@uol.com.br> wrote:
> > Boa tarde pessoal da lista
> > dentro de uma exerc�cio, cheguei a soma de
> > soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...................n^2
> > e vi que tinha uma formula especifica
> > n^3/3 + n^2/2 +n/6
> > mas como se chega a esta formula???
> > Um abraco
> 
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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