Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

[Bruno Lima <bbslima@xxxxxxxxxxxx>]

Outra solucao que � bem manjada � 

1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2
      (1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2
         .
         .
         .      
      (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2 

Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Ontem algu�m perguntou aqui na lista como se
> demonstrava a f�rmula da soma dos quadrados dos
> primeiros n inteiros positivos.
> 
> Eu diria que 99% das pessoas usaria indu��o, o que
> al�m de ser mec�nico e sacal, n�o ilustra o que
> realmente ocorre no problema e, o que � pior, se a
> f�rmula n�o for conhecida (ou seja, se o problema
> for "deduza a f�rmula da soma dos quadrados dos n
> primeiros inteiros positivos") vai ser dif�cil
> adivinhar qual � ela usando apenas indu��o.
> Naturalmente, uma vez que voc� tenha "adivinhado"
> uma f�rmula, possivelmente olhando casos
> particulares, voc� pode usar indu��o para confirmar
> seu palpite.
> 
> Eu sempre sou favor�vel a uma demonstra��o
> combinat�ria, onde contamos o n�mero de elementos de
> algum conjunto de duas formas distintas.
> 
> No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 � o n�mero de
> elementos de que conjunto?
> 
> Por exemplo, considere todos os ternos ordenados
> (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1}
> tais que a > b e a > c.
> 
> � claro (ou deveria ser pra quem participa dessa
> lista) que se a = 1, o n�mero de tais ternos � zero,
> se a = 2, o n�mero � 1*1 = 1, se a = 3, o n�mero �
> 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, ent�o teremos k
> possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e
> k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas
> condi��es do enunciado.
> 
> Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o
> n�mero de ternos nas condi��es do enunciado: 0^2 +
> 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma
> desejada.
> 
> Agora, um terno nas condi��es do enunciado s� pode
> ser de tr�s tipos:
> (a,b,c) com a > b > c;
> (a,b,c) com a > c > b;
> (a,b,c) com a > b = c.
> 
> O n�mero de ternos de cada um dos dois primeiros
> tipos � igual a:
> Binom(n+1,3)  (por que?)
> 
> O n�mero de ternos do terceiro tipo � Binom(n+1,2) 
> (por que?).
> 
> Logo, o n�mero total de ternos nas condi��es do
> enunciado �:
> 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
> 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
> n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
> n*(n+1)*(2n+1)/6.
> 
> Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6.
> 
> []s,
> Claudio.
> 


	
	
		
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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