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H� dois dias enviei para a lista
tr�s exerc�cios de probabilidades que at� agora, infelizmente, n�o mereceram a
aten��o de nenhum colega. Apresento a seguir a proposta de solu��o dos mesmos
para a an�lise de voc�s.
1) Uma moeda equilibrada � lan�ada
at� que, pela primeira vez, o mesmo resultado apare�a duas vezes sucessivas.
Descreva o espa�o amostral desse experimento e calcule a probabilidade do
seguinte evento: o
experimento terminar antes do sexto lan�amento.
Solul��o
proposta:
O
espa�o amostral � dado por W
= {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c, k, c, c),
(k, c, k, c, k), (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k,
c, k, k), (c, k, c, k, c)}. O n�mero de casos favor�veis (s�o aqueles que
aparecem sublinhados) � 8. Portanto,a probabilidade pedida �
8/10.
2)
Seis
urnas cont�m cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna cont�m 8 bolas
brancas. Duas urnas cont�m 6 bolas brancas e tr�s urnas cont�m 4 bolas brancas.
Uma urna � selecionada e tr�s bolas s�o extra�das. Foram obtidas duas bolas
brancas e uma preta. Qual � a probabilidade de que a urna selecionada tenha sido
a que tinha 6 brancas e seis pretas?
Solu��o
proposta:
Pede-se a probabilidade de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram obtidas duas bolas brancas e uma bola preta, ou seja, � o caso de uma probabilidade condicional.
Na urna I (h�
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x 5/9 x 4/8 x 3 =
1/12 Na urna II (h�
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 =
3/44 (o mesmo se d� na urna III) Na urna IV (h�
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 3 =
2/55 (o mesmo se d� nas urnas V e VI). Portanto: P(A) = 1/12 + 2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660
Na urna II: 1/6 x 6/12 x
5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se d� na urna III) Portanto: P(A � B) = 2 x
3/44 = 3/22. Assim, 3/22 : 217/660 = 90/217.
3-
Seis dados s�o lan�ados. Qual � a probabilidade de que todos os seis n�meros
aparecer�o? A
probabilidade de ocorrer seq��ncia (1, 2, 3, 4, 5, 6) � (1/6)6. Como
h� 6! formas de organizar a referida seq��ncia, a probabilidade pedida �
(1/6)6x 6! �
1,5%. |