Re: : [obm-l] Geometria

["Brunno" <profbrunno@xxxxxxxxxx>]

Muito obrigado Paulo Cesar
entendi todoa a resolu��o
Um abraco

----- Original Message -----
From: "Paulo Cesar" <pcesar26@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, March 29, 2005 12:27 PM
Subject: Re: : [obm-l] Geometria


Boa Tarde Brunno

Essa quest�o  foi do concurso do Col�gio Naval em 99. Seu texto
original � o seguinte:
"O n�mero de tri�ngulos que podemos construir com lados medindo 5, 8 e
x, x pertencente aos Naturais n�o-nulos, de tal forma que o seu
ortocentro seja interno ao tri�ngulo �:"

Vamos l�
Se o ortocentro pertence ao interior do tri�ngulo, isso significa que
o mesmo � necessariamente acut�ngulo. (lembre-se que ortocentro � a
interse��o das 3 alturas de um tri�ngulo)

Pela s�ntese de Clairaut, temos que para a, b e c lados de um
tri�ngulo acut�ngulo com "a" sendo o maior desses lados, ent�o a^2 <
b^2 + c^2.

Primeiro, vamos supor que x >=8(maior ou igual a 8). Ent�o x^2 < 8^2 +
5^2 --> x^2 < 89
As solu��es da desiguladade acima para x Natural s�o x=9 e x=8.
Lembre-se que supomos x sendo o maior dos lados, o que permite que o
tri�ngulo tenha lados 8, 8 e 5 e 9, 8 e 5.

Agoras vamos supor x < 8. Ent�o 8^2 < 5^2 + x^2 --> x^2 > 39. A
solu��o � �nica, x=7, o que nos d� um tri�ngulo de lados 8, 7 e 5.
Da�, podemos construir apenas tr�s tri�ngulos com as caracter�sticas
citadas no enunciado.
Gabarito: A

Abra�os
Paulo Cesar

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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