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Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?

Bom, Niski, este é o caso de um corpo visto como um espaço vetorial sobre si mesmo, o que provavelmente não é uma situação muito comum.
 
Mas o problema dá margem a mais elocubrações.
 
Por exemplo, se tomarmos C como um espaço vetorial (de dimensão 2) sobre R, será que o resultado análogo vale?
Ou seja, se F:C -> C for tal que F(az) = aF(z) para todo a real e z complexo, será que é verdade que F(z+w) = F(z) + F(w) para todos z e w em C?
 
E a recíproca do seu resultado?
Se G: C -> C é tal que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C, então é verdade que F(zw) = zF(w) para quaisquer z e w em C? 
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 15 Mar 2005 13:58:25 -0300
Assunto: Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
> Humm. Me parece correto o seu argumento.
> Nao consigo precisar bem, mas esse resultado nao me parece intuitivo.
> E pra voce?
>
>
> Niski
>
> claudio.buffara wrote:
>
> > Supondo que F seja C-homogenea se F(az) = a^nF(z) para quaiquer a e z em
> > C e n em Z, é evidente que F não é linear, a menos que n = 1.
> >
> > Nesse caso (ou seja, se F(az) = aF(z)), basta mostrar que esta condição
> > implica que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C.
> >
> > Suponhamos que F(1) = c.
> >
> > Seja z <> 0.
> > c = F(1) = F((1/z)*z) = (1/z)*F(z) ==> F(z) = c*z
> >
> > Logo, F(z + w) = c*(z + w) = c*z + c*w = F(z) + F(w).
> >
> > Espero que seja isso.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Cópia:
> >
> > Data: Tue, 15 Mar 2005 11:33:51 -0300
> >
> > Assunto: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
> >
> > > Pessoal, me deparei com seguinte problema
> > >
> > > Provar que se L : C -> C é uma funcao entao as condicoes seguintes sao
> > > equivalentes
> > >
> > > i) L é C-Homogenea
> > > ii) L é C-Linear
> > >
> > > Acredito que ii => i seja trivial
> > > mas como provar i => ii ? Acho que para ser verdadeira deveria ter mais
> > > informacoes sobre L não?
> > >
> > >
> > > Obrigado
> > >
> > > Niski
> > > =========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > =========================================================================
> > >
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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