Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

[13/3/2005, claudio.buffara@terra.com.br]:
> [...]
> Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) = (x+1)^p - x^p - 1, com p primo.
> [...]
> eu cheguei ao seguinte resultado empirico:
> F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh um polinomio
> irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p. Mais precisamente:
> n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41
> n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43
> Perguntas:
> [...]
> 2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os primos da forma 6k-1?

Sim -- afinal, (F_p)'(x) = p(x+1)^(p-1) - px^(p-1). Se w = cis 120,
temos que (F_p)'(x) = 0 <=> (w+1)^(p-1) = w^(p-1). Como p-1 é par,
isso equivale a w^(p-1) = w^(2p-2) <=> w^(p-1) = 1 <=> 3 | p-1 <=>
p == 1 (mod 3). Analogamente, pode-se concluir que (F_p)''(x) != 0 para
todo p.

Como F_p(w) = 0 para todo p, temos que n só pode ser 1, se
p == -1 (mod 3) e 2, se p == 1 (mod 3).

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira

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